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TEMAS

SELECTOS

DE

MATEMÁTICAS

Cuaderno de ejercicios






JORGE ROJAS GONZÁLEZ
MARGARITA CRUZ HERNÁNDEZ
DOMINGO HERNÁNDEZ GARCÍA















MÓDULO II



MATRICES

Y

DETERMINANTES








1. MATRICES

1.1 DEFINICIÓN DE MATRIZ

CONCEPTO DE MATRÍZ: Una matriz es un arreglo rectangular de la forma

A =

Esta matrizA se dice que tiene m renglones y n columnas, es decir tiene dimensión m por n

1.1.1 TAMAÑO DE UNA MATRIZ

El tamaño de una matriz está determinado por el número de renglones y el número de columnas que tiene.

Por ejemplo el tamaño de la siguiente matriz es:

A = 2 x 3

Es decir dos renglones y tres columnas


B = 3 x 3


D = 1 x 5


E = 5 x 1
Para denotar olocalizar a un elemento de una matríz se utiliza la notación donde m representa al número de renglón y n a la columna donde se encuentra localizado.

Por ejemplo el elemento de la matriz

B =

Es 5 localizado en el segundo renglón y en la primera columna


El elemento de la matriz

C = es 4


1.1.2 MATRICES CUADRADAS

Se dice que una matriz es cuadrada cuandotiene el mismo número de renglones y columnas, por ejemplo de tamaño 2 x 2, 3 x 3 , etc


Se llama diagonal de una matriz a los elementos que tienen la misma posición en el renglón y en la columna, es decir, a los elementos donde m = n

Por ejemplo los elementos que forman la diagonal de la matriz


A =

Son , , ,…..,



1.2 OPERACIONES CON MATRICES

Antes de realizaroperaciones con matrices, considere los siguientes conceptos

IGUALDAD DE MATRICES:

Se dice que dos matrices A y B, de tamaño m x n son iguales si y sólo si tienen exactamente los mismos elementos, esto es:

A = B si y sólo si = para toda i y j

MATRIZ IDENTIDAD

La matríz identidad denotada por I, es la matriz cuadrada, en la cual los elementos de la diagonal son 1, y los demás 0,por ejemplo la matriz identidad de orden 4 ( es:

=

MATRIZ CERO

Es aquella en la cual todos sus elementos son cero y se representa por O


1.2.1 SUMA DE MATRICES

Para sumar dos matrices, se suman uno a uno los elementos correspondientes.

En general, la suma de las matrices A y B de tamaño m x n, se puede expresar de la siguiente manera:

A + B = [ + ] para cadai y j

Haciendo notar que sólo se pueden sumar dos o más matrices cuando tienen las mismas dimensiones






Por ejemplo, para las matrices A y B, la suma de las matrices A y B es:

1) A = B =


A + B =



2) A = B =


A + B =


Al realizar sumas con matrices se pueden aplicar las siguientes PROPIEDADES DE LA SUMA O ADICIÓN DE MATRICES:

Sean A, B y C,matrices de tamaño m x n, entonces:

a) PROPIEDAD CONMUTATIVA DE LA SUMA DE MATRICES

A + B = B + A

b) PROPIEDAD ASOCIATIVA DE LA SUMA DE MATRICES

A + (B + C) = (A + B) + C

c) PROPIEDAD DE IDENTIDAD PARA LA ADICIÓN

A + O = A

Donde O es la matriz cero




d) PROPIEDAD DEL INVERSO ADITIVO DE UNA MATRIZ

A + (- A) = O

Donde –A es lanegativa o inversa aditiva de la matriz A, es decir, es la matriz que se forma reemplazando cada elemento por - para toda i y j

Las demostraciones formales de estas propiedades no se presentan, sin embargo se pueden se pueden comprobar con algunos ejemplos en particular

Con base en la negativa de una matriz se puede definir la resta de matrices, de la siguiente manera:

RESTA DE MATRICESLa resta de dos matrices A y B, se puede definir sumando la matriz A con su negativa o inversa aditiva de B ( -B), es decir:

A – B = A + ( - B)

Por ejemplo, para las matrices A y B siguientes, obtenga A – B:


A = B =


A – B = -


= +

=








Estos conceptos también se pueden aplicar, por ejemplo en los siguientes...