ApunteMateIIA

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MATEMATICA
II A
Profesora Mg. Diana Salgado

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DEPARTAMENTO DE MATEMATICA
Universidad Nacional del Sur
2014

´Indice
1. Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices y determinantes
1.1. Sistemas de ecuaciones lineales . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. M´etodo de eliminaci´on de Gauss . . . . . . . . . . . .
1.2. Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.Determinantes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.3.1. Propiedades de los determinantes . . . . . . . . . . .
1.3.2. C´alculo de determinantes . . . . . . . . . . . . . . . .
1.4. Matriz Inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.5. Regla de Cramer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2. Vectores
2.1. Operaciones con vectores . . . . . . . . . . . . . . .. .
2.1.1. Propiedades de las operaciones con vectores . .
2.2. Longitud de un m´
ultiplo escalar . . . . . . . . . . . . .
2.3. Vector unitario en la direcci´on de v . . . . . . . . . . .
2.4. Coordenadas y vectores en el espacio . . . . . . . . . .
2.5. Vectores en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.6. Producto escalar de dos vectores . . . . . . . . . . . .
2.6.1. Propiedades. .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.7. Angulo entre dos vectores . . . . . . . . . . . . . . . .
2.8. Vectores ortogonales . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2.9. Producto vectorial de dos vectores en el espacio . . . .
2.9.1. Propiedades algebraicas del producto vectorial .
2.9.2. Propiedades geom´etricas del producto vectorial
2.10. Rectas en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . .. . .
2.11. Planos en el espacio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

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3. Funciones de dos variables
3.1. Dominio. Clasificaci´on . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.2. Representaci´on gr´afica de funciones de dos variables . . . .
3.3. L´ımite. Continuidad . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.4. Derivadas parciales . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.5. Plano tangente. Diferenciabilidad . . . . . . . . . . . . . .
3.6. Regla de la cadena . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.7. Gradiente. Derivada direccional . . . . . . . . . . . . . . .
3.8. Extremos de funciones de dos variables . . . . . . . . . . .
3.8.1. Extremos absolutos . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.9. Aplicaciones de losextremos de funciones de dos variables
3.10. Extremos con restricciones . . . . . . . . . . . . . . . . . .
3.10.1. Multiplicadores de Lagrange . . . . . . . . . . . . .

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Matem´atica II A Salgado 2014
4. Funciones Impl´ıcitas

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Matem´atica II ASalgado 2014

1.

4

Sistemas de ecuaciones lineales. Matrices y determinantes

1.1.

Sistemas de ecuaciones lineales

Un sistema de m ecuaciones lineales con n inc´ognitas se puede escribir como

a11 x1 + a12 x2 + ... + a1n xn = b1



a x + a x + ... + a x = b
21 1
22 2
2n n
2

...



am1 x1 + am2 x2 + ... + amn xn = bm

(1)

donde aij , bij ∈ K , 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n (K= Q, R o C).
Una...