ApunteProbabilidades

El principio aditivo
Si una elección de un grupo I puede ser hecha de n maneras y una elección de un
grupo II puede ser hecha de m maneras, entonces el número de elecciones posibles
desde los grupos I y II puede ser hecha de m + n maneras.
Condición necesaria: Los elementos del grupo I no son los mismos elementos del
grupo II.
Esto puede ser generalizado a una sola selección de más de dos grupos,nuevamente
con la condición que todos los grupos o conjuntos sean disjuntos, es decir que no
tengan elementos en común.
Ejemplos para ilustrar el principio aditivo:
1) Consideremos tres conjuntos de letras que llamamos conjuntos I, II y III.
I = a, m, r
II = b, d, i, l,u
III = c, e, n, t
Cuántos modos hay para elegir una letra de los conjuntos I, II y II. Nótese que
estos tres conjuntos sondisjuntos o mutuamente excluyentes, es decir no hay
elementos en común entre ellos.
Solución:
Para elegir una letra del conjunto I hay 3 maneras, para elegir una letra del
conjunto II hay 5 maneras y para elegir una letra del conjunto III hay 4 maneras.
Luego para elegir una letra de entre los tres conjuntos hay 12 maneras.
2) sean los dos siguientes conjuntos de enteros positivos:
A = 2, 3, 5,7, 11, 13
B = 2, 4, 6, 8, 10, 12
Cuántas maneras hay de elegir un entero desde los conjuntos A y B. Nótese que los
dos conjuntos no son disjuntos. Que modificación podemos hacerle al principio
aditivo para este caso? Trate de escribir esa modificación.
Solución:
Para elegir un número del conjunto A tenemos 6 maneras y para elegir un número
del conjunto B tenemos 6 maneras, pero como tenemos unnúmero en común sólo
tenemos 5. Luego para elegir un número entre A y B tenemos 11 maneras.
Y tendríamos que modificar el principio aditivo restando la cantidad de elemntos
repetidos.
PRINCIPIO MULTIPLICATIVO
Si una tarea involucra dos etapas y la primera etapa puede ser completada de n
formas y la segunda de m formas, entonces hay nm modos de completar la tarea.
Esto puede ser generalizadocompletando una tarea en mas de dos etapas o tantas
como las condiciones lo impongan.
Ejemplo para ilustrar el principio multiplicativo
1) Usando nuestro tres conjuntos I, II y II. Determinar el número de conjuntos
de tres letras que pueden ser creados tales que una letra sea de I, una de II y
la otra de III.
Solución:
De I podemos elegir una letra de 3 maneras, de II de 5 maneras y de III de 4
maneras,luego podemos elegir una letra de cada conjunto de 3·5·4 = 60 maneras.
PERMUTACIONES
De cuántas maneras pueden las letras dentro de cada uno de los tres conjuntos I,
II y III ser ordenadas?. En el conjunto I, tenemos las siguientes posibilidades:
amr arm mar mra ram rma

Usamos el principio multiplicativo para describir nuestra selección. Tenemos tres
letras para elegir para la primera posición,dos letras para la segunda y una para la
tercera posición: 3·2·1 = 6 diferentes ordenes posibles. Por otro lado en el conjunto
II hay 120 maneras de ordenar las 5 letras y en el conjunto III hay 24 diferentes
modos de ordenar sus letras.
Nuestra discusión precedente ejemplifica otro concepto básico en las estrategias
del conteo.
Permutaciones
Un arreglo lineal de elementos para los cuales elorden de los elementos debe ser
tomado en cuenta.
Tenemos también disponible la notación factorial para representar compactamente
las multiplicaciones específicas que se llevan a cabo.
Así 3·2·1 = 3!; 5·4·3·2·1 = 5!, y así sucesivamente.
Tenemos entonces que n! = n(n – 1)(n – 2)(n – 3)·........·2·1
Notación Factorial
Para una representación compacta para la multiplicación de enteros consecutivos,usamos n!, para representar el producto n(n – 1)(n – 2)(n – 3)·........·2·1, donde n es un
número entero positivo.
Ejemplos para ilustrar el uso de las permutaciones
El departamento para niños y servicios de la familia de la Universidad de Illinois
tiene la sigla DCFS. Cuántos arreglos de 4 letras o permutaciones existen para el
conjunto de las letras D, C, F, S?
Solución:
Pensando en nuestras 4...