Apuntes_de_algebra_vectorial_para_estudiantes_de_electromagnetismo
Páginas: 40 (9919 palabras)
Publicado: 21 de septiembre de 2015
Capítulo 1
Análisis vectorial
1.1. Sistemas de coordenadas
A✄ y el vector unitario asociado:
Ax
☎
A✄ ✆ xˆ
Ay
☎
A✄ ✆ yˆ
Az
☎
A✄ ✆ zˆ
En este curso se hace un uso intenso de tres sistemas
de coordenadas: cartesianas, cilíndricas y
esféricas. Naturalmente estos sistemas serán de utilidad en situaciones físicas con simetrías rectangular, cilíndrica y esférica. Veremos en esta sección sudefinición y
algunos resultados de interés que siguen de estas definiciones.
En este sistema entonces un vector cualquiera A✄ se escribe:
A✄ ☎ Ax xˆ ✝ Ay yˆ ✝ Az zˆ ✞
1.1.1. Coordenadas cartesianas
y su norma, definida como la raiz cuadrada del producto
punto del vector consigo mismo (ver nota1), es
✟✠✟
X
Ax
{
{
^x
z^
✡
✟✠✟
A2x ✝ A2y ✝ A2z ✞
☎
Un caso particular es el del vector deposición r✄ asociado
a un punto: la posición de un punto en
este sistema está
definida por la triada de coordenadas x ✁ y✁ z ✂ y en consecuencia, el vector de posición queda dado por:
A
r✄ ☎ xxˆ ✝ yyˆ ✝ zˆz
^y
En este caso se tiene:
{
Az
A✄
Ay
Y
rx
ry
X
rz
Figura 1.1: Sistema de coordenadas cartesianas.
☎
r ✆ xˆ ☎ x
r✄ ✆ yˆ ☎ y
☎
r✄ ✆ zˆ ☎ z
☎
✄
y su norma es:
✟✠✟
✄
Para describirvectores en este sistema de coordenadas
se introduce la triada de vectores unitarios xˆ ✁ yˆ ✁ zˆ✂ a lo
largo de las direcciones de los ejes cartesianos. Un vector cualquiera A✄ tiene proyecciones a lo largo de las
direcciones asociadas a dichos vectores unitarios. Estas
proyecciones o componentes se denotan: Ax ✁ Ay y Az y ellas se obtienen mediante el producto punto entre el vector
r
✟✠✟
☎☞☛
r✄✆ r✄
☎✍✌
x 2 ✝ y 2 ✝ z2
1.1.2. Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas está
basado en la geometría del cilíndro. Se ubica un cilíndro
imaginario con su eje axial concéntrico al eje z de un sistema de coordenadas cartesiano.
1 El producto punto entre dos vectores A
✎ yB
✎ ✏ B
✎ es A
✎ ✑ A x Bx ✒ Ay By ✒
Az Bz )
1
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución enElectricidad
2
tanto tiene sólo componentes a lo largo del plano definido
por ρˆ y zˆ)
Z
Z
A
Z
Y
r
^
Z
^
f
f
X
r
r^
Z
Figura 1.2: Sistema de coordenadas cilíndricas.
Y
Un punto se define sobre este cilindro por una coordenaρ
da de altura z (la altura del cilíndro), una coordenada de
distancia radial ρ (el radio del cilindro) y una coordenada
X
de posición angular φ (el ángulo quesubstiende el punto
respecto del eje x, medido a lo largo de la superficie del
cilindro). A lo largo de las direcciones en que crecen ρ , φ
y z se definen vectores unitarios ρˆ , φˆ y zˆ.
se tiene:
Este sistema
está definido entonces por la triada de co
r✄ ☎ ρ ρˆ ✝ zˆz
ordenadas ρ ✁ φ ✁ z ✂ , y por los correspondientes vectores
✟✠✟ ✟✠✟
y su norma es: r✄ ☎ ✌ ρ 2 ✝ z2 .
unitarios asociados ρˆ ✁ φˆ ✁ zˆ✂(ver Fig. ??).
Destacamos nuevamente que el vector de posición r✄ no
En estas coordenadas las variables ρ , φ y z varían entre:
tiene componente o proyección sobre el vector unitario φˆ
ρ : 0✞ ✞ ✞ ∞
(esto es r✄ ✆ φˆ ☎ 0), pero un vector cualquiera A✄ si podría
tenerla (esto es A✄ ✆ φˆ ☎ 0).
φ : 0 ✞ ✞ ✞ 2π
Proyectando ρ✄ ☎ ρ ρˆ sobre los ejes OX y OY del sistema
z :
∞✞ ✞ ✞ ∞
de coordenadascartesiano asociado se obtiene la transforUn vector cualquiera A✄ tendrá proyecciones sobre las di- mación de coordenadas que nos lleva de las coordenadas
recciones definidas por dichos vectores unitarios. Los val- cilíndricas a las cartesianas:
ores de dichas proyecciones (las componentes del vector)
x ☎
ρ cos φ
se denotan correspondientemente por Aρ , Aφ y Az (ver
Fig ??). Ellos se obtienen de la manerausual:
y ☎
ρ sin φ
✂
✁
Aρ
☎
Aφ
☎
A✄ ✆ ρˆ
A✄ ✆ φˆ
Az
☎
A✄ ✆ zˆ
z
Un vector cualquiera se escribe en consecuencia:
A✄ ☎ Aρ ρˆ ✝ Aφ φˆ ✝ Azzˆ
✟✠✟
y su norma es A✄
✡
✟✠✟
☎
✌
A✄ ✆ A✄ ☎
Aρ2 ✝ Aφ2
✝
A2z .
En el caso particular del vector de posición (que naturalmente parte del origen del sistema de coordenadas y por lo
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias,...
Análisis vectorial
1.1. Sistemas de coordenadas
A✄ y el vector unitario asociado:
Ax
☎
A✄ ✆ xˆ
Ay
☎
A✄ ✆ yˆ
Az
☎
A✄ ✆ zˆ
En este curso se hace un uso intenso de tres sistemas
de coordenadas: cartesianas, cilíndricas y
esféricas. Naturalmente estos sistemas serán de utilidad en situaciones físicas con simetrías rectangular, cilíndrica y esférica. Veremos en esta sección sudefinición y
algunos resultados de interés que siguen de estas definiciones.
En este sistema entonces un vector cualquiera A✄ se escribe:
A✄ ☎ Ax xˆ ✝ Ay yˆ ✝ Az zˆ ✞
1.1.1. Coordenadas cartesianas
y su norma, definida como la raiz cuadrada del producto
punto del vector consigo mismo (ver nota1), es
✟✠✟
X
Ax
{
{
^x
z^
✡
✟✠✟
A2x ✝ A2y ✝ A2z ✞
☎
Un caso particular es el del vector deposición r✄ asociado
a un punto: la posición de un punto en
este sistema está
definida por la triada de coordenadas x ✁ y✁ z ✂ y en consecuencia, el vector de posición queda dado por:
A
r✄ ☎ xxˆ ✝ yyˆ ✝ zˆz
^y
En este caso se tiene:
{
Az
A✄
Ay
Y
rx
ry
X
rz
Figura 1.1: Sistema de coordenadas cartesianas.
☎
r ✆ xˆ ☎ x
r✄ ✆ yˆ ☎ y
☎
r✄ ✆ zˆ ☎ z
☎
✄
y su norma es:
✟✠✟
✄
Para describirvectores en este sistema de coordenadas
se introduce la triada de vectores unitarios xˆ ✁ yˆ ✁ zˆ✂ a lo
largo de las direcciones de los ejes cartesianos. Un vector cualquiera A✄ tiene proyecciones a lo largo de las
direcciones asociadas a dichos vectores unitarios. Estas
proyecciones o componentes se denotan: Ax ✁ Ay y Az y ellas se obtienen mediante el producto punto entre el vector
r
✟✠✟
☎☞☛
r✄✆ r✄
☎✍✌
x 2 ✝ y 2 ✝ z2
1.1.2. Coordenadas cilíndricas
El sistema de coordenadas cilíndricas está
basado en la geometría del cilíndro. Se ubica un cilíndro
imaginario con su eje axial concéntrico al eje z de un sistema de coordenadas cartesiano.
1 El producto punto entre dos vectores A
✎ yB
✎ ✏ B
✎ es A
✎ ✑ A x Bx ✒ Ay By ✒
Az Bz )
1
230017 Electromagnetismo. Ingeniería de Ejecución enElectricidad
2
tanto tiene sólo componentes a lo largo del plano definido
por ρˆ y zˆ)
Z
Z
A
Z
Y
r
^
Z
^
f
f
X
r
r^
Z
Figura 1.2: Sistema de coordenadas cilíndricas.
Y
Un punto se define sobre este cilindro por una coordenaρ
da de altura z (la altura del cilíndro), una coordenada de
distancia radial ρ (el radio del cilindro) y una coordenada
X
de posición angular φ (el ángulo quesubstiende el punto
respecto del eje x, medido a lo largo de la superficie del
cilindro). A lo largo de las direcciones en que crecen ρ , φ
y z se definen vectores unitarios ρˆ , φˆ y zˆ.
se tiene:
Este sistema
está definido entonces por la triada de co
r✄ ☎ ρ ρˆ ✝ zˆz
ordenadas ρ ✁ φ ✁ z ✂ , y por los correspondientes vectores
✟✠✟ ✟✠✟
y su norma es: r✄ ☎ ✌ ρ 2 ✝ z2 .
unitarios asociados ρˆ ✁ φˆ ✁ zˆ✂(ver Fig. ??).
Destacamos nuevamente que el vector de posición r✄ no
En estas coordenadas las variables ρ , φ y z varían entre:
tiene componente o proyección sobre el vector unitario φˆ
ρ : 0✞ ✞ ✞ ∞
(esto es r✄ ✆ φˆ ☎ 0), pero un vector cualquiera A✄ si podría
tenerla (esto es A✄ ✆ φˆ ☎ 0).
φ : 0 ✞ ✞ ✞ 2π
Proyectando ρ✄ ☎ ρ ρˆ sobre los ejes OX y OY del sistema
z :
∞✞ ✞ ✞ ∞
de coordenadascartesiano asociado se obtiene la transforUn vector cualquiera A✄ tendrá proyecciones sobre las di- mación de coordenadas que nos lleva de las coordenadas
recciones definidas por dichos vectores unitarios. Los val- cilíndricas a las cartesianas:
ores de dichas proyecciones (las componentes del vector)
x ☎
ρ cos φ
se denotan correspondientemente por Aρ , Aφ y Az (ver
Fig ??). Ellos se obtienen de la manerausual:
y ☎
ρ sin φ
✂
✁
Aρ
☎
Aφ
☎
A✄ ✆ ρˆ
A✄ ✆ φˆ
Az
☎
A✄ ✆ zˆ
z
Un vector cualquiera se escribe en consecuencia:
A✄ ☎ Aρ ρˆ ✝ Aφ φˆ ✝ Azzˆ
✟✠✟
y su norma es A✄
✡
✟✠✟
☎
✌
A✄ ✆ A✄ ☎
Aρ2 ✝ Aφ2
✝
A2z .
En el caso particular del vector de posición (que naturalmente parte del origen del sistema de coordenadas y por lo
Prof. Dino E. Risso, Departamento de Física, Facultad de Ciencias,...
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