Apuntes de mecánica estructural i
Páginas: 20 (4872 palabras)
Publicado: 22 de junio de 2011
1. TEORÍA DE ELASTICIDAD.
La teoría de la elasticidad nos sirve para describir el estado de campo de esfuerzos y deformaciones en un cuerpo elástico ideal. Y para ello, se consideran las siguientes hipótesis:
El cuerpo analizado se considera:
a) Continuo : No hay huecos.
b) Homogéneo: Presenta iguales propiedades en todos sus puntos.
c) Isótropico : Su comportamiento enrelación a propiedad física, no
depende de la dirección en que se considere.
1.1 ESFUERZOS.
Se considera un cuerpo en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas:
Nota : Comentar sobre la
imposibilidad de obtener el
campo de esfuerzo utilizando
la estática elemental.
Lim
=
Lim
=
P1
P2
P3
x
y
z
ALas fuerzas pueden ser:
i ) Fuerzas de volumen: Fuerza de gravedad, inercia, etc.
dv = dv + dv + dv
ii ) Fuerzas de superficie: La presión de un fluido, el empuje de tierra, las cargas
aplicadas a una viga, etc.
ds = ds + ds + ds
Se puede caracterizar el estado de esfuerzos por medio de esfuerzos en un puntocualquiera en el cuerpo considerado con un cubo diferencial, esto es:
Z
z
zx
zy dz
xz
yz x X
xy
y yx dy
dx
Y
De éste modo, el tensor de esfuerzos se puede definir como la representación matemática deéstos esfuerzos, y se escribe:
x xy xz x
yx y yz y (Es de 2º rango)
zx zy z z11 12 13
En donde:
i j = 21 22 23 i, j = 1, 2, 3.
31 32 33
Planteando las ecuaciones de equilibrio estático, se tiene:
De la suma demomentos:
Z M = 0
z y (dx dy) dz - y z (dx dy) dz = 0
+ X
x y = y z
Y
De la misma manera, se puede obtener:
x y = y x
x z = z x
Por lo tanto:
i j = j i Ley de reciprocidad.
Así pues, la ley dereciprocidad establece que en dos planos ortogonales entre sí, las componentes de los esfuerzos tangenciales perpendiculares a la arista común son iguales.
De éste modo, el tensor de esfuerzos queda:
x xy xz
xy y yz
xz yz z
TAREA. Obtener el tensor de esfuerzos en los puntos indicados de la siguiente estructura:W = 2 ton/m
A B C
D E F
G H I4.0 m
X 60 cm z = Y =
Y
25 cm
1.1.2. ESFUERZOS EN EL PLANO DE ORIENTACION ARBITRARIA
Los esfuerzos en un plano cualquiera que pase por el punto dado, se puede obtener cuando se conocen las seis componentes del tensor de esfuerzos.
Se considera ahora, el siguiente tetraedro...
La teoría de la elasticidad nos sirve para describir el estado de campo de esfuerzos y deformaciones en un cuerpo elástico ideal. Y para ello, se consideran las siguientes hipótesis:
El cuerpo analizado se considera:
a) Continuo : No hay huecos.
b) Homogéneo: Presenta iguales propiedades en todos sus puntos.
c) Isótropico : Su comportamiento enrelación a propiedad física, no
depende de la dirección en que se considere.
1.1 ESFUERZOS.
Se considera un cuerpo en equilibrio bajo la acción de fuerzas externas:
Nota : Comentar sobre la
imposibilidad de obtener el
campo de esfuerzo utilizando
la estática elemental.
Lim
=
Lim
=
P1
P2
P3
x
y
z
ALas fuerzas pueden ser:
i ) Fuerzas de volumen: Fuerza de gravedad, inercia, etc.
dv = dv + dv + dv
ii ) Fuerzas de superficie: La presión de un fluido, el empuje de tierra, las cargas
aplicadas a una viga, etc.
ds = ds + ds + ds
Se puede caracterizar el estado de esfuerzos por medio de esfuerzos en un puntocualquiera en el cuerpo considerado con un cubo diferencial, esto es:
Z
z
zx
zy dz
xz
yz x X
xy
y yx dy
dx
Y
De éste modo, el tensor de esfuerzos se puede definir como la representación matemática deéstos esfuerzos, y se escribe:
x xy xz x
yx y yz y (Es de 2º rango)
zx zy z z11 12 13
En donde:
i j = 21 22 23 i, j = 1, 2, 3.
31 32 33
Planteando las ecuaciones de equilibrio estático, se tiene:
De la suma demomentos:
Z M = 0
z y (dx dy) dz - y z (dx dy) dz = 0
+ X
x y = y z
Y
De la misma manera, se puede obtener:
x y = y x
x z = z x
Por lo tanto:
i j = j i Ley de reciprocidad.
Así pues, la ley dereciprocidad establece que en dos planos ortogonales entre sí, las componentes de los esfuerzos tangenciales perpendiculares a la arista común son iguales.
De éste modo, el tensor de esfuerzos queda:
x xy xz
xy y yz
xz yz z
TAREA. Obtener el tensor de esfuerzos en los puntos indicados de la siguiente estructura:W = 2 ton/m
A B C
D E F
G H I4.0 m
X 60 cm z = Y =
Y
25 cm
1.1.2. ESFUERZOS EN EL PLANO DE ORIENTACION ARBITRARIA
Los esfuerzos en un plano cualquiera que pase por el punto dado, se puede obtener cuando se conocen las seis componentes del tensor de esfuerzos.
Se considera ahora, el siguiente tetraedro...
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