Apuntes De Mecanica De Materiales 2
Páginas: 19 (4718 palabras)
Publicado: 23 de octubre de 2011
TEMA 4: LEY DE HOOKE GENERALIZADA
Además de deformación unitaria axial asociado a barras cargadas normalmente, un cuerpo puede estar sometido a deformaciones unitarias cortantes, lo que está asociado a su vez con esfuerzos cortantes aplicados. Ahora bien un cuerpo sometidos a cargas axiales en el plano también genera esfuerzos cortantes, siempre y cuando existan esfuerzos desviatorios, valedecir si el [pic].
Relaciones esfuerzo – deformación para cortante
El cambio en el ángulo recto entre dos planos cualquiera imaginarios de un cuerpo define la deformación unitaria cortante (. Para elementos infinitesimales, esos pequeños ángulos se miden en radianes.
En el Tema 1 vimos que los esfuerzos cortantes sobre planos mutuamente perpendiculares son iguales, con lo que se observa lasituación planteada en la figura para cortante puro.
En numerosos problemas de ingeniería, los esfuerzos cortantes no superan el rango elástico del material. Para estos materiales, puede postularse una relación lineal entre el esfuerzo cortante puro y el ángulo (. Luego, la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes tiene la forma:
[pic]
Donde G es una constante deproporcionalidad llamada módulo de rigidez. Al igual que E, G es una propiedad específica para cada material.
Ley de Hooke generalizada
Esta sección trata respecto de las relaciones que se pueden establecer entre los esfuerzos y deformaciones unitarias en un material continuo, homogeneo, isotrópico y linealmente elástico.
Básicamente la ley de Hooke establece que existe una relación lineal entre elesfuerzo aplicado y la deformación resultante. Durante este proceso tiene lugar una concentración o expansión lateral de un cuerpo, dependiendo de si el cuerpo es estirado o comprimido. La magnitud de la deformación lateral es formulada anlíticamente usando la razón de Poisson. Esta situación se ilustra en la siguiente figura:
Para el caso de la figura la deformación en x y z es igual a [pic] yla deformación en y es [pic]. Si el esfuerzo fuera sometido en la dirección x, la deformación en z e y es [pic] y la deformación en ex es [pic]. Por último si el esfuerzo es aplicado en la dirección de z la deformación es x e y es [pic] y la deformación en z es [pic]. Al superponer estas deformaciones unitarias se obtienen las expresiones completas para las deformaciones unitarias cuando sesometen a esfuerzos triaxiales, vale decir:
[pic]
Análogamente:
[pic]
[pic]
Por otro lado, las desangulaciones debido a esfuerzos cortantes están dadas por:
[pic]
[pic]
[pic]
De la primera ecuación:
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
Sumando (2) y (3) se obtiene:
[pic]
Despejando [pic] queda:
[pic]
[pic] (4)
Ahora reemplazando (4) en(1) se obtiene:
[pic]
Dividiendo por E y pasando el término [pic] a la derecha queda:
[pic]
Despejando (x:
[pic]
[pic]
Desarrollando esta última expresión:
[pic]
Haciendo un poco más de trabajo algebraico:
[pic]
[pic]
[pic]
Sea [pic], donde este último parámetro se llama coeficiente de Lamé, se tiene:
[pic]
Por analogía:
[pic]
[pic]
Losesfuerzos cortantes están definidos por:
[pic]
[pic]
[pic]
Ejemplo 1
Un cubo de acero de 50 mm de lado está sometido a una presión uniforme de 200 MPa actuando sobre todas las caras. Determine el alargamiento de todas las direcciones del cubo. Sea E=200 GPa y (=0,25.
Solución
Se tiene que:
[pic]
Reemplazando los datos:
[pic]
[pic]
[pic]
Luego:
[pic]
Como[pic], implica que [pic]
Relaciones entre E, G y (
Un estado de esfuerzos de cortante puro, como el de la figura mostrada a continuación, puede transformarse en un sistema equivalente de esfuerzos normales.
Para hacer la transformación dividimos el cuadrado ABCD por la diagonal DB y aislamos un elemento triangular, como se muestra en la figura que sigue:
De la figura se puede observar...
Además de deformación unitaria axial asociado a barras cargadas normalmente, un cuerpo puede estar sometido a deformaciones unitarias cortantes, lo que está asociado a su vez con esfuerzos cortantes aplicados. Ahora bien un cuerpo sometidos a cargas axiales en el plano también genera esfuerzos cortantes, siempre y cuando existan esfuerzos desviatorios, valedecir si el [pic].
Relaciones esfuerzo – deformación para cortante
El cambio en el ángulo recto entre dos planos cualquiera imaginarios de un cuerpo define la deformación unitaria cortante (. Para elementos infinitesimales, esos pequeños ángulos se miden en radianes.
En el Tema 1 vimos que los esfuerzos cortantes sobre planos mutuamente perpendiculares son iguales, con lo que se observa lasituación planteada en la figura para cortante puro.
En numerosos problemas de ingeniería, los esfuerzos cortantes no superan el rango elástico del material. Para estos materiales, puede postularse una relación lineal entre el esfuerzo cortante puro y el ángulo (. Luego, la ley de Hooke para esfuerzos y deformaciones cortantes tiene la forma:
[pic]
Donde G es una constante deproporcionalidad llamada módulo de rigidez. Al igual que E, G es una propiedad específica para cada material.
Ley de Hooke generalizada
Esta sección trata respecto de las relaciones que se pueden establecer entre los esfuerzos y deformaciones unitarias en un material continuo, homogeneo, isotrópico y linealmente elástico.
Básicamente la ley de Hooke establece que existe una relación lineal entre elesfuerzo aplicado y la deformación resultante. Durante este proceso tiene lugar una concentración o expansión lateral de un cuerpo, dependiendo de si el cuerpo es estirado o comprimido. La magnitud de la deformación lateral es formulada anlíticamente usando la razón de Poisson. Esta situación se ilustra en la siguiente figura:
Para el caso de la figura la deformación en x y z es igual a [pic] yla deformación en y es [pic]. Si el esfuerzo fuera sometido en la dirección x, la deformación en z e y es [pic] y la deformación en ex es [pic]. Por último si el esfuerzo es aplicado en la dirección de z la deformación es x e y es [pic] y la deformación en z es [pic]. Al superponer estas deformaciones unitarias se obtienen las expresiones completas para las deformaciones unitarias cuando sesometen a esfuerzos triaxiales, vale decir:
[pic]
Análogamente:
[pic]
[pic]
Por otro lado, las desangulaciones debido a esfuerzos cortantes están dadas por:
[pic]
[pic]
[pic]
De la primera ecuación:
[pic] (1)
[pic] (2)
[pic] (3)
Sumando (2) y (3) se obtiene:
[pic]
Despejando [pic] queda:
[pic]
[pic] (4)
Ahora reemplazando (4) en(1) se obtiene:
[pic]
Dividiendo por E y pasando el término [pic] a la derecha queda:
[pic]
Despejando (x:
[pic]
[pic]
Desarrollando esta última expresión:
[pic]
Haciendo un poco más de trabajo algebraico:
[pic]
[pic]
[pic]
Sea [pic], donde este último parámetro se llama coeficiente de Lamé, se tiene:
[pic]
Por analogía:
[pic]
[pic]
Losesfuerzos cortantes están definidos por:
[pic]
[pic]
[pic]
Ejemplo 1
Un cubo de acero de 50 mm de lado está sometido a una presión uniforme de 200 MPa actuando sobre todas las caras. Determine el alargamiento de todas las direcciones del cubo. Sea E=200 GPa y (=0,25.
Solución
Se tiene que:
[pic]
Reemplazando los datos:
[pic]
[pic]
[pic]
Luego:
[pic]
Como[pic], implica que [pic]
Relaciones entre E, G y (
Un estado de esfuerzos de cortante puro, como el de la figura mostrada a continuación, puede transformarse en un sistema equivalente de esfuerzos normales.
Para hacer la transformación dividimos el cuadrado ABCD por la diagonal DB y aislamos un elemento triangular, como se muestra en la figura que sigue:
De la figura se puede observar...
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