Apuntes Mecánica De Materiales

APUNTES DE MECÁNICA DE MATERIALES

DEFORMACIÓN

Cuando en una prueba de carga uniaxial, una probeta como la de la figura 1 se somete a una fuerza creciente P, ocurre un cambio de longitud, como la que se puede medir en el cambio de la distancia entre los puntos A y B en la misma, (conocida como longitud de calibración). El alargamiento que se observa, por unidad de longitud es la intensidadde la deformación , que también se denomina deformación lineal unitaria y que se puede escribir como
,
donde es la longitud de calibración es decir, la medición inicial y es la longitud observada después de aplicar la carga. suele ser muy pequeña y es adimensional.

Figura 1. Prueba de tensión uniaxial.

Puesto que las deformaciones pueden variar de un punto a otro, lasdefiniciones de deformación deben relacionarse a un elemento infinitesimal.

Considérese primero que se puede idealizar el fenómeno en una sola dirección. Sean los puntos A y B de la figura 2 a una distancia inicial . Supóngase que el punto A de desplaza al punto A’ y el punto B al punto B’, Si la distancia entre A’ y B’ sigue siendo , se trató tan solo de una traslación, pero si no es así, apareceademás una deformación. Si es el desplazamiento en la dirección de y además una función de , es decir, de la posición (nótese que no se considera la variable tiempo), entonces, la deformación lineal unitaria en la dirección de cuando se puede definir como


Figura 2. Deformación lineal unidimensional.

Si un cuerpo se deforma en dos direcciones perpendiculares, como se muestrapara un caso bidimensional en la figura 3, los desplazamientos en las direcciones x y y son respectivamente, y en este caso, las deformaciones lineales unitarias en dichas direcciones se pueden definir como
(2).


Figura 3. Deformación lineal en el plano.

Generalizando, para un caso tridimensional, si los desplazamientos en las direcciones x,y,z son
,
respectivamente, entonces,las deformaciones lineales se pueden definir de la forma
(3)
Además de las deformaciones lineales, un elemento también puede experimentar deformación angular. En la figura 4 se muestra el caso para una deformación angular en el plano xy. Puesto que es el desplazamiento en la dirección de y, a medida que se avanza en la dirección de x,

es la pendiente del lado inicialmente horizontaldel elemento infinitesimal. Análogamente, el lado vertical se inclina un ángulo
.
El ángulo CDE (ver figura 4) inicialmente recto se reduce en la cantidad
.
Para cambios de ángulo pequeños, la definición de deformación angular, relacionada con las coordenadas xy es
.

Figura 4. Deformaciones angulares en el plano.

Para un elemento tridimensional, se pueden definir, en formaanáloga, las deformaciones angulares
(4)
Las ecuaciones (3) y (4) también se conocen como ecuaciones de compatibilidad cinemática y relacionan deformaciones con los desplazamientos relativos. Existen otras importantes ecuaciones diferenciales de compatibilidad, -semejantes a las ecuaciones diferenciales de equilibrio para los esfuerzos- que deben cumplirse, pero están fuera del alcance de estecurso.

TENSOR DEFORMACIÓN [1]
Para poder escribir a las deformaciones como un tensor es necesario hacer ciertas consideraciones.

Figura 5. Deformaciones tangenciales lineales

En la figura 5, los elementos deformados de los esquemas (a) y (b), se obtienen girando un ángulo el elemento del esquema (c), como un cuerpo rígido. El elemento así mostrado es el indicado para medir o definirla componente de deformación por cortante como elemento de un tensor, es decir, en forma lineal, no angular.
Como en esta definición el elemento no es girado como un cuerpo rígido se dice que la deformación es pura o irrotacional. Siguiendo este enfoque, otra definición de las deformaciones por cortante será
(4)
A partir de estas ecuaciones, el tensor deformación puede expresarse...