Apuntes elemento finito

TEMA 2. CONCEPTOS BÁSICOS

CONCEPTOS BÁSICOS(cont.)
EL MÉTODO DEL ELEMENTO FINITO ES UN PROCEDIMIENTO NUMÉRICO PARA OBTENER SOLUCIONES A LOS PROBLEMAS ENCONTRADOS EN LOS ANÁLISIS DE INGENIERÍA.

LA MEJOR FORMA DE RESOLVER CUALQUIER PROBLEMA FÍSICO GOBERNADO POR UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL, ES OBTENIENDO LA SOLUCIÓN ANALÍTICA.

TODAS LAS SOLUCIONES NUMÉRICAS PRODUCEN VALORES EN PUNTOSDISCRETOS PARA UNA SERIE DE PARÁMETROS INDEPENDIENTES.

CONCEPTOS BÁSICOS(cont.)

METODOS BÁSICOS PARA OBTENER LA NUMÉRICA DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL:

SOLUCIÓN

A)

EL MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS.

B)
C)

EL MÉTODO VARIACIONAL.
LOS MÉTODOS DE RESIDUOS PESADOS.

CONCEPTOS BÁSICOS(cont.)
A) MÉTODO DE LAS DIFERENCIAS FINITAS


ESTE MÉTODO APROXIMA LAS DERIVADAS EN EL DOMINIODE LA ECUACIÓN DIFERENCIAL USANDO UNA RESTA DE ECUACIONES. ESTE MÉTODO ES ÚTIL PARA RESOLVER PROBLEMAS DE TRANSFERENCIA DE CALOR Y MECÁNICA DE FLUIDOS Y TRABAJA BIEN PARA REGIONES DE DOS DIMENSIONES CON FRONTERAS PARALELAS A LOS EJES COORDENADOS. EL MÉTODO, SIN EMBARGO, ES BASTANTE DIFÍCIL CUANDO LAS REGIONES SON CURVAS O DE FRONTERAS IRREGULARES, Y ES DIFÍCIL TAMBIÉN ESCRIBIR PROGRAMAS DECOMPUTACIÓN GENERALES PARA EL MÉTODO.

CONCEPTOS BÁSICOS(cont.) B) MÉTODO VARIACIONAL.


EL MÉTODO VARIACIONAL INVOLUCRA LA INTEGRAL DE UNA FUNCIÓN QUE PRODUCE UN NÚMERO. CADA NUEVA FUNCIÓN PRODUCE UN NUEVO NÚMERO. LA FUNCIÓN QUE PRODUCE EL NUMERO MAS BAJO TIENE LA PROPIEDAD ADICIONAL DE SATISFACER UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL ESPECÍFICA. PARA AYUDAR A CLARIFICAR ESTE CONCEPTO SE CONSIDERA LAINTEGRAL:

CONCEPTOS BÁSICOS(cont.)

H

0

 D  dy  2      Qydx  2  dx    

(1.1)



EL VALOR NUMÉRICO DE  PUEDE CALCULARSE DANDO UNA ECUACIÓN ESPECÍFICA y  f (x) . EL CALCULO DE VARIACIONES MUESTRA, SIN EMBARGO QUE LA ECUACIÓN PARTICULAR y  g (x) , LA CUAL PRODUCE EL VALOR NUMÉRICO MAS BAJO DE  , ES LA SOLUCIÓN A LA ECUACIÓN DIFERENCIAL:

CONCEPTOS BÁSICOS(cont.)d2y D 2 Q  0 dx


1.2

CON LAS CONDICIONES DE FRONTERA:

y(0)  y 0

Y

y( H )  y H

CONCEPTOS BÁSICOS(cont.)


EL PROCESO PUEDE SER AL CONTRARIO. DADA UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL, PUEDE OBTENERSE UNA SOLUCIÓN APROXIMADA SUSTITUYENDO DIFERENTES FUNCIONES DENTRO DE LA FUNCIONAL APROPIADA. LA FUNCIÓN PROBADA QUE PRODUCE EL VALOR MÍNIMO DE  ES LA SOLUCIÓN APROXIMADA. EL MÉTODOVARIACIONAL ES LA BASE DE MUCHAS FORMULACIONES POR ELEMENTO FINITO, PERO TIENE UNA DESVENTAJA: NO ES APLICABLE A UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL QUE CONTENGA COMO TERMINO UNA PRIMERA DERIVADA.



CONCEPTOS BÁSICOS(cont.)
C) MÉTODOS DE RESIDUOS PESADOS.


LOS MÉTODOS DE RESIDUO PESADO TAMBIÉN INVOLUCRAN UNA INTEGRAL. EN ESTOS MÉTODOS SE SUBSTITUYE UNA SOLUCIÓN APROXIMADA EN LA ECUACIÓNDIFERENCIAL. DEBIDO A QUE LA SOLUCIÓN APROXIMADA NO SATISFACE LA ECUACIÓN, UN TERMINO RESIDUAL O ERROR APARECE COMO RESULTANTE. SUPONGAMOS QUE y  H (X ) , ES UNA SOLUCIÓN APROXIMADA A LA ECUACIÓN:

CONCEPTOS BÁSICOS(cont.)
d2y D 2  Q  R( x)  0 dx
DEBIDO A QUE


(1.3)

y  h(x) NO SATISFACE LA ECUACIÓN.

LOS MÉTODOS DE RESIDUO PESADO REQUIEREN QUE :




H

0

Wi ( x) R( x)dx  0(1.4)

EL RESIDUO R(x) SE MULTIPLICA POR LA FUNCIÓN DE PESO Wi (X ) Y LA INTEGRAL DEL PRODUCTO SE REQUIERE QUE SEA CERO. EL NÚMERO DE FUNCIONES DE PESO ES IGUAL AL NÚMERO DESCONOCIDO DE COEFICIENTES EN LA SOLUCIÓN APROXIMADA. EXISTEN DISTINTAS FORMAS PARA ELEGIR LAS FUNCIONES DE PESO, Y ALGUNAS DE LAS MÁS POPULARES SON:

CONCEPTOS BÁSICOS(cont.)


MÉTODO DE COLOCACIÓN: SE SELECCIONANFUNCIONES DE Wi ( x)   ( x  X i ) COMO FUNCIONES DE PESO. IMPULSO

ESTA SELECCIÓN ES EQUIVALENTE AL REQUERIMIENTO DE DESAPARECER EL RESIDUO EN PUNTOS ESPECÍFICOS. EL NUMERO DE PUNTOS SELECCIONADO ES IGUAL AL NÚMERO DE COEFICIENTES INDETERMINADOS EN LA SOLUCIÓN APROXIMADA.


MÉTODO DE SUBDOMINIO: CADA FUNCIÓN DE PONDERACIÓN

ES SELECCIONADA COMO UNIDAD Wi ( x)  1 , SOBRE UNA REGIÓN...