apuntes MA 1004

Apuntes de Álgebra Lineal
Mariano Echeverría

Introducción al Curso
El álgebra lineal se caracteriza por estudiar estructuras matemáticas en las que es posible tomar
“sumas” entre distintos elementos de cierto conjunto y “multiplicar” tales elementos por números
reales o complejos. Tales conjuntos se conocerán como espacios vectoriales y sus elementos serán
llamados vectores.
El primer uso que sele dará durante el curso a las técnicas del álgebra lineal va a ser para
encontrar la solución de sistemas de ecuaciones lineales. Tales problemas tienen gran importancia
para aplicaciones como hallar las corrientes en circuitos eléctricos o hacer códigos en informática.
Al ir resolviendo este tipo de problemas, una de los propiedades más ventajosas del álgebra lineal
irá apareciendo: laexistencia de algoritmos bien definidos para resolver una gran cantidad de
problemas. El algoritmo más importante del curso aparecerá desde el inicio con el fin de resolver
tales sistemas de ecuaciones lineales. Tal algoritmo es el método de Gauss-Jordan y consistirá
en asociarle a cada sistema de ecuaciones lineales un cierto objeto llamado matriz para el cual
el algoritmo producirá una matriz reducidaque dará inmediatamente la información sobre la
solución del sistema.
Esto motivará estudiar las matrices como fines en sí mismos y realizar operaciones algebraicas
(como suma y producto de matrices) entre ellas. Una de las características más importantes del
producto matricial que se definirá es que es no conmutativo, es decir, si A,B son matrices y AB
representa el producto de matrices, nosiempre se tiene que AB = BA. Esta propiedad es de
importancia fundamental no solo para el álgebra lineal. Por ejemplo, en la mecánica cuántica
se le asocia a cada cantidad física que se puede medir (a veces se le llama observable) una
matriz y la no conmutatividad del producto de matrices se interpreta como la imposibilidad
de medir simultáneamente ciertas cantidades físicas (ahí está el origen delfamoso principio de
incertidumbre de Heisenberg).
Otra propiedad de las matrices es que hay una matriz llamada la matriz identidad que es
el análogo del número 1, es decir, si I representa la matriz identidad entonces se tiene que
AI = IA = A al igual que si a es un número real se tiene que a1 = 1a = a. Gran parte del
curso se dedicará a encontrar las condiciones para las cuales una matriz esinvertible, es decir,
cuándo existe una matriz A−1 tal que AA−1 = A−1 A = I (el análogo para los números reales es
el número a1 ya que a a1 = a1 a = 1). Tal estudio conduce al concepto de determinante, que es un
número que se le asigna a las matrices y que cumple que si es distinto de cero entonces la matriz
posee una inversa.
La segunda parte del curso se dedicará a estudiar el concepto de vector yespacio vectorial
como estructura abstracta. Este concepto generalizará el uso del concepto de vector que se da
en los primeros cursos de física general como una cantidad física con magnitud y dirección. Se
verá que muchas propiedades que poseen los vectores estudiados en tales cursos de física pueden
generalizarse a los vectores abstractos que se definirán, por ejemplo, todavía podrá hablarse de

1la norma (tamaño) de un vector y el ángulo entre dos vectores. Con respecto a los espacios
vectoriales el concepto de transformación lineal va a ser de suma importancia ya que serán las
funciones que preservan la estructura algebraica de un espacio vectorial. La relación que posee esta
parte del curso con la primera parte será que a una transformación lineal se le puede asociar una
matriz por loque se podrá utilizar toda la teoría de matrices para estudiar las transformaciones
lineales.
En este sentido, el concepto de valor y vector propio serán los últimos ingredientes de la
teoría de transformaciones lineales que se estudiará en el curso; tales objetos darán condiciones
de cuándo se le puede asociar a una transformación lineal una matriz diagonal. A manera de
aplicación de esto...