APUNTES SERIES DE TAYLOR

APUNTES CÁLCULO II

SERIES DE TAYLOR
El objetivo de este capítulo es conocer una importante aplicación que nos
proporciona un método para representar una función diferenciable f  x  como una suma
infinita de potencias de x . Con este método podremos ampliar nuestro conocimiento de
cómo evaluar, derivar e integrar polinomios a una clase de funciones mucho más
generales que los polinomios.
DEF:(Series de Potencias)
1) Una serie de potencias alrededor de x  0 es una suma infinita de la forma:


 cnxn  c0  c1x  c2x2 

n0

1

 cn x n 

2) Una serie de potencias alrededor de x  a es una suma infinita de la forma:


 cn  x  a n  c0  c1  x  a   c2  x  a 2 

n 0

 cn  x  a n 

en la cual el centro a y los coeficientes c0 , c1 , c2 ,

, cn ,

 2

sonconstantes.

OBS:
a) La ecuación 1 es el caso particular de la ecuación 2 que se obtiene al hacer
a0.
b) Si consideramos una serie de potencias centrada en x  0 como polinomios
Pn  x  , diremos que la serie converge a f  x  en un intervalo I , si la gráfica de
estos polinomios cuando n   se aproxima a la gráfica de f  x  en el intervalo

I . En este caso escribiremos f  x   c0  c1x  c2x2
EJEMPLO:
La serie de potencias



 xn  1  x  x 2 

 xn 

 cnxn 

.

converge a la función

n 0

1
para 1  x  1 . Esto se expresa escribiendo:
1 x
1
 1  x  x 2   xn 
;  1  x  1.
1 x
1
La figura siguiente muestra la gráfica de f  x  
y algunos de los polinomios
1 x
que la aproximan: yn  Pn  x  con n  1,2,3,6,10 , es decir:
f  x 

PSH

APUNTES CÁLCULO II

y1 P1  x   1  x
y2  P2  x   1  x  x2
y3  P3  x   1  x  x2  x3
y6  P6  x   1  x  x2  x3  x 4  x5  x6
y10  P10  x   1  x  x2  x3  x 4  x5  x6  x7  x8  x9  x10
P10

y

8

P6

P3

6

P2
4

2

-1.4 -1.2 -1.0 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2

P1

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 1.2 1.4

x

OBS:
Para introducir las Series de Taylor daremos respuestas a las siguientes interrogantes:
Si unafunción f  x  tiene derivadas de todos los órdenes en un intervalo I , ¿se podrá
expresar como una serie de potencias en I ? Si esto es posible, ¿cuáles serán sus
coeficientes?
Supongamos que f  x  es la suma de una serie de potencias

f (x) 



 cn  x  a n  c0  c1  x  a   c2  x  a 2 

n0

 cn  x  a n 

Derivando repetidamente, término a término, se obtiene:

f (x)  c1 2c2  x  a   3c3  x  a 2 

 ncn  x  a n1 

f (x)  1  2c2  2  3c3  x  a   3  4c4  x  a 2
f (x)  1  2  3c3  2  3  4c4  x  a   3  4  5c5  x  a 2
f  n  x   1  2  3 

PSH

 n  1  ncn  una suma de términos con  x  a  como factor.

APUNTES CÁLCULO II

Puesto que todas ecuaciones son válidas cuando x  a , se tiene que

f (a)  c1
f (a)  1 2c2
f (a)  1  2  3c3
y, en general,

f  n  a  1  2  3 

n  1  ncn  n! cn

Luego

cn 

f  n  a 
n!

sería la fórmula que nos daría los coeficientes de esta serie.

DEF: (Serie de Taylor)
Sea f una función con derivadas de todos los órdenes en algún intervalo que
contenga al valor a como un punto interior. Entonces la serie de Taylor generada
por f en x  a es:
f k  a
f  a 
 k !  x  a k  f  a   f   a  x  a   2!  x  a 2 
k 0


f  n  a 

 x  a n 
n!

En particular, la serie de Taylor generada por f en x  0 (llamada también serie
de Maclaurin) es:

f  k  a k
f   0 
 k ! x  f 0  f  0 x  2! x2 
k 0


EJEMPLO: Hallar la serie de Taylor generada por f  x  

PSH



f  n  0  n
x 
n!

1
en x  0 .
1 x

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SOL.
Vamos a determinar los coeficientes de la serie:
1
f  x 
 f 0  1
1 x
1
f  x 
 f   0  1
1  x 2

f   x  

1 2
1  x 3



f   0   2 

f   0  2
 1
2!
2

f   x  

1 2  3
1  x 4



f   0   6 

f   0  6
 1
3!
6

f  n  x  

1 2  3 n

1  x n1

f  n  0   1  2  3

n  n! 

La serie de Taylor es

f...