Apuntes

1

Matrices y Determinantes

Definition 1 Sea K un cuerpo ( R o C ) y m, n ∈ N llamaremos ” Una matriz de
orden eme por ene ( mxn) con entradas o elementos en K a cualquier conjunto de
elementos de K dispuestos (ordenados) en forma rectangular en m filas con n columnas. Es
decir a cualquier conjunto de la forma:


a11 a12 a13 · · · · · · a1j · · · a1n
 a21 a22 a23 · · · · · · a2j · ·· a2n 


 a31 a32 a33 · · · · · · a3j · · · a3n 


...


(∗) 
 aij ∈ K


 ai1 ai2 ai3 · · · · · · aij · · · ain 
 .
.
.
.
. 
...
 .
.
.
.
. 
.
.
.
.
.
amn
am1 am2 am3 · · · · · · amj
Notaci´n:
o

• Las matrices se reprentar´n con letras imprenta may´sculas, con sub´
a
u
indices cuando
sea necesario :
A, B, C, D, E, F, .... , o A1 , A2 , A3, A4 , ...Ar .
• Las entradas de una matriz usualmente se representar´n con una letra min´scula (asoa
u
ciada a la letra may´scula que representa a la matriz) acompa˜ada de un par de
u
n
sub´
indices ( i, j ), indicando el primero de ellos (”i”), la fila en la que se encuentra el
elemento , y el segundo, (”j”), nos indica en la columna que se encuentra el elemento.
Por ejemplo : b23representa a la entrada o elemento de la matriz B que se encuentra
en la fila 2 y en la columna 3.
• El conjunto de todas las matrices de orden mxn con entradas en K se denotar´ por
a
Mmxn (K)
Por ejemplo:

La notaci´n A ∈M2x3 (R) se lee ”A es una matriz de orden dos por tres con entradas
o
reales”.


a b
M3x2 (R) = { c d  / a, b, c, d, e, f ∈ R}
e f

Son ejemplos de matrices :



2 √0
1
0 2+ 1 i
3
 −1
¡
¢
√
√
3 
 ; B = 10
A =
7 2+ 5 −5 ; C =  2i √ 1 − i 1 + i 

 2
4
−i
2+5i
−5
1
−2
2
De los ejemplos anteriores podemos decir por ejemplo que.

• A es una matriz de orden 4x2 con entradas en R o simplemente escribir A ∈M4x2 (R)
√
, el elemento de A que se encuentra en la fila 2 y en la columna 2 es a22 = 3
1

• B es una matriz quetiene una Fila y cuatro columnas, es decir B es de orden 1x4
y sus entradas est´n en R, o A ∈M1x4 (R)
a
• C es una matriz de orden 3x3 con entradas en C o simplemente escribir C ∈M3x3 (C)
√
, el elemento de C que se encuentra en la fila 3 y en la columna 2 es c32 = 2+5i
Tambi´n las matrices se suelen representar en funci´n de sus elementos de la siguiente
e
o
forma : A = (aij )mxn
o
´ A =(aij ) cuando no deseamos indicar el orden porque lo asumimos conocido
Recordemos que una matriz es un conjunto de elementos por lo tanto, ella puede ser
definida por extensi´n o por comprensi´n :
o
o
Las Matrices est´n definidas por extensi´n cuando se explicitan los elementos que definen
a
o
a la matriz por ejemplo :


2 √0
 −1
¡
¢
√
√
3 
 ; B = 10
• A =
7 2+ 5 −5
 2
4
1
−2
2
Las Matrices est´n definidas por comprensi´n cuando los elementos que definen a la
a
o
matriz se dan por un procedimeinto o alg´n tipo de f´rmula(s) por ejemplo :
u
o
• Sea A = (aij )2x3 tal que aij = 2i − 3j o
• Sea B = (bij ) tal que bij = 2i − (−1)i j; 1 ≤ i ≤ 3 ∧ 1 ≤ j ≤ 4
½
2 si i ≥ j
• Sea C = (cij )5x3 tal que cij =
−1 si i < j
Ejercicio: Exprese A, B, C porextensi´n
o
Definition 2 ( Igualdad de Matrices)
Sean A = (aij ) ∈Mmxn (K) y B = (bij ) ∈Mpxq (K)
Diremos que la matriz A es igual a la matriz B

 i) A y B poseen el mismo orden
es decir (m = p) ∧ (n = q)
S´ y s´lo s´
i
o i

ii) aij = bij ∀i.j, 1 ≤ i ≤ m ∧ 1 ≤ j ≤ n

Sean A, B ∈M2x3 (R) tales que: A = (aij ) tal que aij = 2i − (−1)i j
µ
¶
3 4 5
yB=
¿Es A = B?
3 6 1

1.0.1

Tiposde matrices

Considerando los elementos de una matriz y/o su orden podemos clasificar las matrices de
la siguiente manera:
Definition 3 Sea A ∈Mmxn (K), diremos que A es una matriz Fila o un vector fila
S´ y s´lo s´ m = 1 es decir
i
o i
S´ y s´lo s´ A ∈M1xn (K)
i
o i
2

¡
¢
Es decir una matriz fila es de la forma : A = a1 a2 a3 · · · an notemos que no
es necesario representar los...