Apuntes

Universidad Mayor
Facultad de Ingenier´ıa

´ nica para Ingenier´ıa I
Meca

´ lveda San Mart´ın
Adolfo Sepu

Revisado por:
Valeria Boccardo Salvo

2014

Chapter 1

Vectores
1.1

Vectores

En matem´
atica, un vector es una herramienta geom´etrica utilizada para
representar una magnitud f´ısica de la cual depende u
´nicamente un m´odulo
y una direcci´
on para quedar completamente definido. Enf´ısica adem´as, se
necesita de una unidad de medida como N.
Los vectores se pueden representar geom´etricamente como segmentos de
recta dirigidos o flechas en planos R2 o R3 . Es decir, bidimensional o tridimensional.

1.1.1

Magnitudes escalares:

Son todas aquellas magnitudes f´ısicas, fundamentales o derivadas, que
quedan completamente definidas con n´
umeros y una unidad de medida.
Ejemplo:
Masa,tiempo, superficie, temperatura, entre otras.

1.1.2

Magnitudes vectoriales:

Son todas aquellas magnitudes f´ısicas, fundamentales o derivadas, que
para quedar completamente definidas necesitan de una magnitud, de una
direcci´
on y sentido, como tambi´en de una unidad de medida.
Ejemplo:
Desplazamiento, velocidad, aceleraci´
on, fuerza, momentum, entre otras.

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CHAPTER 1. VECTORES

1.1.3Caracter´ısticas de los vectores:

1. Origen: Punto donde nace el vector.
2. Magnitud o M´
odulo: Corresponde al tama˜
no del vector, y se denota
|v|.
3. Direcci´
on: L´ınea recta en la cual el vector est´a contenido (L´ınea de
acci´
on).
4. Sentido: Es el indicado por la punta de la flecha.

|v|
θ
o

Figure 1.1: Representaci´on gr´afica de un vector.

1.1.4

Vectores libres:

Se llama vector libre aaquel que no pasa por un punto determinado en el
espacio.

1.1.5

Vectores fijos:

Se llama vector fijo a aquel que pasa por un punto determinado en el espacio.

1.2

Suma de vectores

Dentro del estudio de vectores es importante conocer las operaciones
matem´
aticas b´
asicas como lo son la adici´on y sustracci´on de vectores. A
continuaci´
on se detallan los diferentes m´etodos que se utilizan enla resoluci´
on de problemas.

1.2.1

M´
etodo del pol´ıgono:

Consiste en dibujar el primer vector a sumar, luego en el extremo de ´este
se dibuja el origen del segundo vector a sumar, y as´ı sucesivamente hasta
dibujar el u
´ltimo vector a sumar. La resultante se obtiene trazando un

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CHAPTER 1. VECTORES

vector que va desde el origen del primer vector, hasta el extremo del u
´ltimo.
Ejemplo1.1: Dados los vectores: a,b y c:
b

a

c

Trazar las siguientes resultantes:
R1 = a + b + c
R2 = b + c + a
Soluci´
on:
R1 = a + b + c

b

a

c

R1

R2 = b + c + a

b

R2
c

a

Al observar el ejemplo anterior, podemos concluir que la suma de vectores
cumple ciertas propiedades.

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CHAPTER 1. VECTORES

1.2.2

Propiedades para la suma de vectores:

1. Asociativa: ∀ a, b y c vectores, se cumple:(a + b) + c = a + (b + c).
2. Elemento neutro: ∀ a, ∃! 0 / a + 0 = 0 + a = a.
3. Conmutatividad: ∀ a, b vectores, se cumple: a + b = b + a.
4. Elemento opuesto: ∀ a, ∃! (−a) / a + (−a) = (−a) + a = 0. Donde
(−a) es el vector opuesto del vector a, teniendo igual magnitud y
direcci´
on pero sentido contrario.

1.2.3

M´
etodo del paralelogramo:

Se utiliza para sumar vectores, y consiste en dibujarambos vectores con un
origen en com´
un. Luego en cada uno de los extremos se dibujan las paralelas
a dichos vectores. La resultante se obtiene trazando un vector que va desde
el origen com´
un hasta el punto donde se intersectan las paralelas.
Si:

F2
F1

Entonces: R = F1 + F2 , es:

R

F2

F1

1.2.4

Resta de vectores:

Sean a y b dos vectores. La resta a − b queda definida por: a − b = a +(−b).
Dado los vectores:

5

CHAPTER 1. VECTORES

F2
F1

(−F2)

Entonces: R = F1 − F2 = F1 + (−F2 ), es:

F1

R

(−F2)

Nota: Se obtiene la misma resultante R si se utiliza el m´etodo del paralelogramo.

1.3

Vectores en el plano

Todo punto (x0 , y0 ) del plano cartesiano representa un vector que tiene por
origen, el origen del sistema de referencia y por extremo el punto de coordenadas (x0 , y0...