Apuntes01

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Apuntes de Algebra
Departamento de Matem´aticas
Universidad de Castilla - La Mancha
E. I. I. Albacete
Septiembre de 2011

ii

´Indice general
1. N´
umeros Complejos

1

1.1. El cuerpo de los N´
umeros Complejos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
1.1.1. Conjugado de un complejo

1

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

2

1.1.2. M´
odulo de un complejo . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

3

1.2. Representaci´
on geom´etrica de los n´
umeros complejos: M´odulo y argumento . . .

4

1.3. Formas trigonom´etrica y polar de un n´
umero complejo . . . . . . . . . . . . . . .

5

1.3.1. Operaciones en forma polar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6

1.4. Potencia y ra´ız n-sima de un n´
umero complejo . . . . . . . . . . .. . . . . . . .

7

1.5. Ejercicios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

9

iv

´
Indice general

Tema 1

N´
umeros Complejos

1.1.

El cuerpo de los N´
umeros Complejos

El conjunto R de los n´
umeros reales tiene la dificultad de que hay ecuaciones que no tienen
soluci´on, como por ejemplo ocurre con x2 + 1 = 0. Ser´ıa deseable, por consiguiente,encontrar un
conjunto K que tuviera las mismas operaciones y estructura algebraica que R, que contuviera a
´este como subconjunto y en el que cualquier ecuaci´on polin´omica con coeficientes en K tuviera
al menos una ra´ız en K.
Dicho conjunto se determina a partir del cuerpo R a˜
nadiendo un elemento i tal que i2 = −1.
Se definen en ´el la suma y el producto, y dichas operaciones tienen las mismaspropiedades que
en R. Es
C = {x + yi : x, y ∈ R}
Este conjunto, C, se llama cuerpo de los N´
umeros Complejos.
Los elementos de C, expresados como z = x + yi con x, y ∈ R, se dice que est´an dados en
forma bin´
omica.
Si
z = x + yi,

z =x +y i

son dos n´
umeros complejos cualesquiera, se definen las operaciones
z+z
z·z

= (x + x ) + (y + y )i,
= (xx − yy ) + (xy + x y)i.

La suma es asociativa,conmutativa, tiene elemento neutro 0 = 0 + 0i y cada elemento
z = x + yi tiene su opuesto −z = −x − yi.
El producto es conmutativo, asociativo, tiene elemento neutro 1 = 1 + 0i y cada elemento
z = 0 tiene inverso, z −1 . Es tambi´en distributivo respecto de la suma.
Conviene recordar que, si z = x + yi,
z −1 = (x + yi)−1 =

x2

x
y
− 2
i.
2
+y
x + y2

2

N´
umeros Complejos

Definici´
on 1.1. Dadoun n´
umero complejo expresado en forma bin´omica, z = x + yi,
el n´
umero real x se llama parte real de z y se representa por Re(z).
el n´
umero real y se llama parte imaginaria de z y se representa por Im(z).
Por tanto,
Re(z) = x,

Im(z) = y.

Ejemplo 1.1. Dados los complejos
z2 = 5 − 4i,

z1 = 3 + 2i,

z3 = 7i,

z4 = −8,

se tiene que
Re(z1 ) = 3;

Re(z2 ) = 5;

Im(z1 ) = 2;

Im(z2 ) = −4;Re(z3 ) = 0;
Im(z3 ) = 7;

Re(z4 ) = −8;
Im(z4 ) = 0.

El conjunto C no est´
a ordenado
Si bien se puede ampliar el conjunto de los n´
umeros reales hasta obtener otro conjunto mayor
que lo contiene, conservando en dicho proceso las operaciones y sus propiedades, no es posible
mantener el orden que est´
a definido en R.
En efecto, si tenemos en cuenta que en el conjunto de los reales se verifica quesi x ∈ R
entonces x2 > 0, no podemos escribir ni i > 0 (pues en ese caso i · i = i2 > 0, lo que nos lleva al
absurdo de que −1 > 0), ni i < 0, pues de nuevo llegamos a la conclusi´on absurda de que debe
ser −i > 0 y por tanto (−i)2 = i2 = −1 > 0.
Es, pues, imposible mantener el orden de R en C.

1.1.1.

Conjugado de un complejo

Definici´
on 1.2 (Conjugado). Sea z = x + yi ∈ C un complejocualquiera.
Se llama conjugado de z y se designa por

z

al n´
umero complejo

z = x − yi.
Ejemplo 1.2. Para los complejos del ejemplo anterior,
z1 = 3 + 2i,

z2 = 5 − 4i,

z3 = 7i,

z4 = −8.

los conjugados son, respectivamente,
z1 = 3 − 2i,

z2 = 5 + 4i,

z3 = −7i = −z3 ,

Propiedades del conjugado
Se verifican las siguientes propiedades, siendo z, z ∈ C:
z = z.

z4 = −8 = z4 .

1.1 El cuerpo de los...