Apunts sistemes d'equaciosn lineals
Páginas: 6 (1332 palabras)
Publicado: 11 de noviembre de 2014
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
Anomenem sistemes d’equacions lineals a un conjunt d’equacions de primer grau en cadascuna de les incògnites que es verifiquen alhora.
Aquest sistema està format per m equacions lineals amb n incògnites: sistema m x n. Representem els coeficients (nombre que acompanyen les incògnites) amb mij i les incògnites amb xj (o tambéx, y, z), els termes bj s’anomenen termes independents.
La solució d’un sistema és el conjunt de nombres reals que verifiquen totes i cadascuna de les equacions del sistema.
Per exemple, un sistema de tres equacions i tres incògnites x, y i z, té per solució una terna de nombres reals x = a, y = b i z = c.
Solució: (a, b, c)
Tipus de sistemes:
Els sistemes es classifiquen segons lasolució en:
Sistemes compatibles, són els que tenen solució, poden ser:
SCD, sistemes compatibles determinats, si té solució única.
SCI, sistemes compatibles indeterminats, si té infinites solucions.
Sistemes incompatibles (SI), són els que no tenen solució.
Sistemes equivalents:
Dos sistemes són equivalents si tenen la mateixa solució per a totes i cadascuna de les incògnites.
Podemobtenir sistemes equivalents si efectuem qualsevol de les següents operacions:
a) Intercanviar equacions.
b) Multiplicar els dos membres d’una equació per un nombre diferent de zero.
c) Substituir una de les equacions per una combinació lineal d’aquesta equació amb les altres, és a dir, substituir l’equació per aquella que s’obté al sumar-li una altra, o altres, multiplicades per un nombrediferent de zero.
Amb aquestes operacions podem arribar a un sistema més fàcil de resoldre.
EL MÈTODE DE GAUSS
Aquest mètode utilitza les operacions que hem vist en l’apartat anterior per a resoldre sistemes d’una forma sistemàtica, ràpida i senzilla.
Es tracta de fer zeros fins arribar a un sistema esglaonat.
Repassem el mètode de Gauss amb un exemple.
Anomenem matriu M omatriu del sistema, a la matriu formada pels coeficients:
I M’ o matriu ampliada, a la matriu formada pels coeficients i els termes independents:
El mètode de Gauss es pot resoldre sense utilitzar notació matricial, però és més còmode i més ràpid utilitzar aquesta notació.
En resum hem de fer totes les operacions necessàries per aconseguir arribar a un sistema més fàcil de resoldre,és a dir, cal triangularitzar la matriu ampliada (fer zeros a sota la diagonal principal).
1r pas, intercanviarem la 1a fila per la 2a, perquè el coeficient és un 1, ens serà més fàcil i còmode treballar amb coeficients petits.
2n pas, fer zeros a sota de l’element a11, per això a les dues files, les sumarem la 1a multiplicada pel nombre adient:
3r pas, fer zeros a sota del’element a22, per això a la 3a fila, li sumarem la 2a multiplicades cadascuna pel nombre adient:
Aquesta matriu que hem obtingut correspon al sistema:
La solució que s’obté és:
La terna solució és (3, 5, 7). Com el sistema només té una solució és un SCD.
Si després d’aplicar el mètode la 3a fila és igual a:
0x + 0y +0z = 0 el sistema té infinites solucions, per tant,és un SCI.
0x + 0y +0z = b el sistema no té solucions, per tant, és un SI.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS
Aquest teorema ens permet determinar el tipus de sistema sense resoldre’l. El teorema ens diu:
Un sistema és compatible si rang M = rang M’. En cas contrari, el sistema és incompatible.
Si rang M = rang M’ = r i r = n, on n és el nombre d’incògnites, el sistema és compatibledeterminat.
Si rang M = rang M’ = r i r < n, el sistema és compatible indeterminat, amb n – r graus de llibertat.
SCD
rang M = rang M’ = 3 = nombre d’incògnites
SCI
rang M = rang M’ = 2 < nombre d’incògnites
SI
rang M = 2 rang M’ = 3
NOTACIÓ MATRICIAL D’UN SISTEMA
Considereu el sistema següent:
Aquest sistema el podem escriure de la següent manera:
O de...
SISTEMES D’EQUACIONS LINEALS
Anomenem sistemes d’equacions lineals a un conjunt d’equacions de primer grau en cadascuna de les incògnites que es verifiquen alhora.
Aquest sistema està format per m equacions lineals amb n incògnites: sistema m x n. Representem els coeficients (nombre que acompanyen les incògnites) amb mij i les incògnites amb xj (o tambéx, y, z), els termes bj s’anomenen termes independents.
La solució d’un sistema és el conjunt de nombres reals que verifiquen totes i cadascuna de les equacions del sistema.
Per exemple, un sistema de tres equacions i tres incògnites x, y i z, té per solució una terna de nombres reals x = a, y = b i z = c.
Solució: (a, b, c)
Tipus de sistemes:
Els sistemes es classifiquen segons lasolució en:
Sistemes compatibles, són els que tenen solució, poden ser:
SCD, sistemes compatibles determinats, si té solució única.
SCI, sistemes compatibles indeterminats, si té infinites solucions.
Sistemes incompatibles (SI), són els que no tenen solució.
Sistemes equivalents:
Dos sistemes són equivalents si tenen la mateixa solució per a totes i cadascuna de les incògnites.
Podemobtenir sistemes equivalents si efectuem qualsevol de les següents operacions:
a) Intercanviar equacions.
b) Multiplicar els dos membres d’una equació per un nombre diferent de zero.
c) Substituir una de les equacions per una combinació lineal d’aquesta equació amb les altres, és a dir, substituir l’equació per aquella que s’obté al sumar-li una altra, o altres, multiplicades per un nombrediferent de zero.
Amb aquestes operacions podem arribar a un sistema més fàcil de resoldre.
EL MÈTODE DE GAUSS
Aquest mètode utilitza les operacions que hem vist en l’apartat anterior per a resoldre sistemes d’una forma sistemàtica, ràpida i senzilla.
Es tracta de fer zeros fins arribar a un sistema esglaonat.
Repassem el mètode de Gauss amb un exemple.
Anomenem matriu M omatriu del sistema, a la matriu formada pels coeficients:
I M’ o matriu ampliada, a la matriu formada pels coeficients i els termes independents:
El mètode de Gauss es pot resoldre sense utilitzar notació matricial, però és més còmode i més ràpid utilitzar aquesta notació.
En resum hem de fer totes les operacions necessàries per aconseguir arribar a un sistema més fàcil de resoldre,és a dir, cal triangularitzar la matriu ampliada (fer zeros a sota la diagonal principal).
1r pas, intercanviarem la 1a fila per la 2a, perquè el coeficient és un 1, ens serà més fàcil i còmode treballar amb coeficients petits.
2n pas, fer zeros a sota de l’element a11, per això a les dues files, les sumarem la 1a multiplicada pel nombre adient:
3r pas, fer zeros a sota del’element a22, per això a la 3a fila, li sumarem la 2a multiplicades cadascuna pel nombre adient:
Aquesta matriu que hem obtingut correspon al sistema:
La solució que s’obté és:
La terna solució és (3, 5, 7). Com el sistema només té una solució és un SCD.
Si després d’aplicar el mètode la 3a fila és igual a:
0x + 0y +0z = 0 el sistema té infinites solucions, per tant,és un SCI.
0x + 0y +0z = b el sistema no té solucions, per tant, és un SI.
TEOREMA DE ROUCHÉ-FROBENIUS
Aquest teorema ens permet determinar el tipus de sistema sense resoldre’l. El teorema ens diu:
Un sistema és compatible si rang M = rang M’. En cas contrari, el sistema és incompatible.
Si rang M = rang M’ = r i r = n, on n és el nombre d’incògnites, el sistema és compatibledeterminat.
Si rang M = rang M’ = r i r < n, el sistema és compatible indeterminat, amb n – r graus de llibertat.
SCD
rang M = rang M’ = 3 = nombre d’incògnites
SCI
rang M = rang M’ = 2 < nombre d’incògnites
SI
rang M = 2 rang M’ = 3
NOTACIÓ MATRICIAL D’UN SISTEMA
Considereu el sistema següent:
Aquest sistema el podem escriure de la següent manera:
O de...
Leer documento completo
Regístrate para leer el documento completo.