area de un cono

El desarrollo plano de un cono recto es un sector circular y un círculo.
El sector circular está delimitado por dos generatrices, siendo la medida del lado curvo igual a la longitud de lacircunferencia de la base.
Dado que el vaso de papel conforma un cono recto sin su base, el área lateral A corresponde al sector circular y viene dada por
A = πrg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . .[1]
donde r es el radio de la base y g la longitud de la generatriz
La generatriz de un cono recto equivale a la hipotenusa del triangulo rectángulo que conforma con la altura delcono y el radio de la base, cuya longitud es:
g = √(r² + h²)
Luego, reemplazando esta fórmula en [1] nos queda
A = πr√(r² + h²). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[2]
Porotro lado, como también conocemos la medida del volumen, tenemos que
1/3 πr²h = 36
πr²h = 108
r²h = 34.37738
h = 34.3778/r²
valor que reemplazado en la ecuación [2] nos deja

A = πr√[r² +(34.3778/r²)²]
A = πr√[r² + (1181.8/r^4)]
A = πr√[(r^6 +1181.8)/r^4]

. . . πr√(r^6 + 1181.8)
A = ────────────
. . . . . . . √r^4

. . . πr√(r^6 + 1181.8)
A = ────────────
. . . . . .. .r²

. . . .π√(r^6 + 1181.8)
A = ───────────. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .[3]
. . . . . . . . .r
Derivando para hallar el punto crítico, se tiene

. . . . . . . .π6r^5 . r
. .. . ────────── - π √(r^6 + 1181.8)
. . . . 2√(r^6 + 1181.8)
A´ = ───────────────────────
. . . . . . . . . . . . . .r²

. . . . . . . .π3r^6 . . .. . .π √(r^6 + 1181.8) √(r^6 + 1181.8)
. .. . ────────── - ──────────────────────
. . . . √(r^6 + 1181.8) . . . . . . . . √(r^6 + 1181.8)
A´ = ───────────────────────────────────
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .r²

. . .. 3πr^6 -.π r^6 - π 1181.8
A´= ─────────────────
. . . . . . .r² √(r^6 + 1181.8)

. . . . 2πr^6 -. π 1181.8
A´= ─────────────
. . . . .r² √(r^6 + 1181.8)

. . . . 6.2832r^6 -....