Area de una region eliptica

´
AREA
DE UNA
´
REGION
´
ELIPTICA
MA1002
´
CALCULO
II

´
´ EL´IPTICA
AREA
DE UNA REGION
´
MA1002 CALCULO
II
Escuela de Matem´
atica
Universidad de Costa Rica

16 de agosto de 2012

´
AREA
DE UNA
´REGION
´
ELIPTICA

Ecuaci´
on y gr´
afica de una elipse horizontal con centro (0, 0)

x2 y2
+ 2 =1
a2
b

MA1002
´
CALCULO
II

2

Regi´on el´ıptica generada por

2

y
x
+
=1
a2 b 2

b√ 2
Despejando seobtiene que y = ±
a − x 2 . Donde
a
b√ 2
y=
a − x 2 corresponde a la ecuaci´
on de la curva de la
a
b√ 2
elipse que est´a sobre el eje x y donde y = −
a − x2
a
corresponde a la ecuaci´on de la curvade la elipse que
est´a debajo del eje x.

´
AREA
DE UNA
´
REGION
´
ELIPTICA
MA1002
´
CALCULO
II

Para obtener el ´area de la regi´
on el´ıptica anterior se puede
calcular la siguiente integral:
a

A=−a

b
a

a2 − x 2 − −

b
a

a2 − x 2 dx

Como la elipse determina cuatro regiones congruentes como
la que se ilustra a continuaci´
on:

Entonces se puede calcular el ´area de la regi´
on anterior:
a

A1=
0

b
a

a2 − x 2 dx

´
AREA
DE UNA
´
REGION
´
ELIPTICA
MA1002
´
CALCULO
II

´
AREA
DE UNA
´
REGION
´
ELIPTICA
MA1002
´
CALCULO
II

C´alculo de la integral A1
a

b
a2 − x 2 dx se recurre a
0 a
lasustituci´on trigonom´etrica, donde x = a sen θ.
Para luego obtener que dx = a cos θdθ.
Si x = 0 entonces a sen θ = 0 y esto implica que θ = 0.
π
Si x = a entonces a sen θ = a y esto implica que θ = .2
Y as´ı se obtiene que:
Para calcular la integral A1 =

π
2

A1 =
0

b
a

a2 − (a sen θ)2 a cos θdθ

´
AREA
DE UNA
´
REGION
´
ELIPTICA
MA1002
´
CALCULO
II

Continuaci´on del C´alculo de la integralA1
π
2

A1 =

a2 − a2 sen2 θ cos θdθ

b

0
π
2

=

ab

1 − sen2 θ cos θdθ

0
π
2

=

√
ab cos2 θ cos θdθ

0
π
2

=

ab cos θ cos θdθ

0

√
Porque

cos2 θ = cos θ, ya que cos θ ≥ 0 si 0 ≤ θ ≤

π
.
2´
AREA
DE UNA
´
REGION
´
ELIPTICA
MA1002
´
CALCULO
II

Continuaci´on del C´alculo de la integral A1
π
2

A1 = ab

cos2 θdθ

0
π
2

= ab
0

ab
=
2

π
2

1 + cos(2θ)
dθ
2
(1 + cos(2θ))dθ

0

ab...