Areas

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Departamento de Matem´tica
a

´
Areas entre curvas
Ejercicios resueltos

Recordemos que el ´rea encerrada por las gr´ficas de dos funciones f y g entre las rectas x = a y x = b es dada
a
a
por
b

|f (x) − g (x)| dx
a

Ejercicios resueltos
Ejercicio 1: Hallar el ´rea A limitadapor la par´bola y = 4 − x2 y el eje X .
a
a

Soluci´n: Hallamos los puntos de intersecci´n de la curva
o
o
con el eje X , recordemos que el eje X corresponde a la recta
y = 0 se sigue que

4
f (x)=4−x2
3

y

=

4 − x2

2

y

=

0

1

tiene soluciones x = ±2, note adem´s que f (x) = 4−x2 ≥ 0
a
en [−2, 2] de donde obtenemos (ver figura 1)
2

2

4 − x2 − 0 dx =A=
−2

4 − x2 dx =
−2

−4

−3

−2

−1

0

1

2

3

−1

32
3

−2

Figura 1

Ejercicio 2: Hallar el ´rea de la regi´n encerrada por las curvas y = 10x − x2 y y = 3x − 8.
a
o
Soluci´n: Graficamos ambas funciones. Busquemos los puntos
o
de intersecci´n de ambas gr´ficas, es decir, resolvamos el sistema
o
a

25
20
15

y

=

10x − x2

10

y

=

3x − 8esto nos lleva a la ecuaci´n 3x − 8 = 10x − x2 la que tiene por
o
soluci´n x = 8, x = −1. Note que en x = 0 la ecuaci´n
o
o

5
0

−5

5

10

y = 10x − x2

−5
−10

da y = 0 y y = 3x − 8 entrega y = −8, por continuidad se sigue
que
10x − x2 ≥ 3x − 8 en [−1, 8]

−15

Figura 2

as´ podemos calcular el ´rea
ı
a
8

8

10x − x2 − (3x − 8) dx =
−1

10x − x2 − (3x− 8) dx =
−1

1

243
2

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a

Ejercicio 3: Hallar el ´rea encerrada por la gr´fica de las curva y = x2 − 8x + 10, el eje X , y las rectas x = 2
a
a
y x = 5.

Soluci´n: Notemos que x2 − 8x + 10 tiene por gr´fica una
o
a
par´bola, adem´s
a
a
x2 − 8x + 10= 0 ⇔ x − 4 −

√

x− 4+

6

√

6

0

=0

6

−4

−6

5

− x2 − 8x + 10 dx = 15

x2 − 8x + 10 − 0 =
2

4

−2

se sigue que x2 − 8x + 10 ≤ 0 entre las ra´
ıces, en particular, en el
intervalo [2, 5] es negativa. El ´rea buscada es entonces
a
5

2

2

Figura 3

Ejercicio 4: Hallar el ´rea A encerrada por las curvas y = sin x, y = cos x entre las rectas x =0 y x = π .
a

1

Soluci´n: Buscamos las intersecciones de las curvas y =
o
sin x, y = cos x en el intervalo [0, π ], esto nos lleva a buscar
las soluciones de sin x = cos x, as´ x = π/4. En 0, π
ı
4
cos x ≥ sin x y en π , π se cumple sin x ≥ cos x as´
ı
4

0.5

−0.5

0.5

1

1.5

2

2. 5

3

π

π /4

|sin x − cos x| dx

0
−0.5

(cos x − sin x) dx

=

00
π

(sin x − cos x) dx

+

−1

=

−1.5

√

π/4

2−1 +

√

√
2+1 =2 2

Figura 4

Ejercicio 5: Hallar el ´rea encerrada entre las curvas 8y = x3 y
a
8y = 2x3 + x2 − 2x
Soluci´n: Buscamos los puntos de intersecci´n de las curo
o
vas, es decir, resolvemos el sistema
8y

=

x3

8y

=

2x 3 + x 2 − 2 x

0.5

−2.5

2 x3 + x2 − 2 x = x3

−2

−1.5−1

−0.5

0.5
0

entonces

−0.5

⇔

x3 + x2 − 2x = 0

−1

⇔ x (x − 1) (x + 2) = 0
−1.5

se sigue que las curvas intersectan en x = 0, x = 1, x = −2,
adem´s de forma anal´
a
ıtica podemos determinar cual de las
curvas se encuentra arriba y en que intervalo
2

Figura 5

1

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a

En efecto
2x3 + x2 − 2x ≥ x3 ⇔ x (x − 1) (x + 2) ≥ 0
luego utilizando la tabla
x
x−1
x+2
x (x − 1) (x + 2)

−
−
−
−

−
−
−
−

−2
−
−
0
0

−
−
+
+

−
−
+
+

0
0
−
+
0

+
−
+
−

1
+
0
+
0

+
−
+
−

+
+
+
+

+
+
+
+

2x3 + x2 − 2x
x3
−
8
8

dx

obtenemos que en el intervalo [−2, 1]...