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Resumen Ejecutivo:
El objetivo de este trabajo es apreciar la precisión del método de Euler para sistemas y la transformada de Laplace.
Luego de una breve explicación de lo que consiste el método de Euler, se procederá a resolver problemas de ambas formas y al desarrollarlos, se podrán comparar con los resultados exactos y observar que metodología es más conveniente y cual seaproxima mejor a la solución.
Además, se hará uso del programa computacional Matlab para programar un método numérico que permita obtener el valor exacto.
Índice:
Introducción
Desarrollo
Método de Euler
Problemas
Conclusión
Bibliografía 3
4 – 12
5
6-12
13
14

Introducción:
En el año 1744 que el matemático y físico Leonhard Euler comenzó a investigar cómo resolver ecuacionesdiferenciales a partir de un valor dado a través de integraciones numéricas. Fue así como es que nació el método de Euler (explicado en el desarrollo de este taller), el cual da una aproximación del valor exacto.
Luego, en 1785, Laplace se basó en el método de Euler y descubrió que había una forma de resolver ecuaciones diferenciales, que era usando integrales en forma de transformaciones,las cuales eran más sencillas de resolver. A estas les llamó transformaciones de Laplace.
El trabajo de investigación que sigue, consiste en ver la diferencia de estos métodos y compararlos con el resultado exacto. Para ello, se utilizará el programa Matlab y el conocimiento adquirido.

Desarrollo:
1. Investigación:
Método de Euler:
Método de Euler se constituye por el métodonumérico más sencillo para la resolución del problema de valores iniciales de primer orden, tales como:
y'=fx,y, yx0=y0La ecuación diferencial está interpretada en el plano x e y, además tiene condiciones iniciales como un punto (x0,y0) del dicho plano, por medio de este método se puede aproximar la función y(x) por rectas tangentes que pasan por ese punto, respectivamenteescrito como:
yx≅y0+f(x0,y0)(x-x0)Donde la pendiente de la ecuación estaría dado por m=y´(x0), dicho lo anterior la pendiente seria m=f(x0,y0).
Primero para obtener las abscisas correspondientes, se van aproximando el valor xde acuerdo a una aproximación h, de modo que xn=xn-1+h.
De acuerdo a la formula nos determina la solución aproximada de la función y(x).
xn=xn-1+h ;yn≅yn-1+f(xn-1,yn-1)(x-xn-1)Entonces con la aproximación dada, calcular el punto de las abscisas x1.
Se tiene:
yx1=y1≅y0+f(x0,y0)(x-x0)Ya con este punto aproximado, se repite el método para obtener el siguiente punto aproximado x2,y2, haciendo el mismo proceso para los siguientes puntos.
Mientras el valor h es más bajo numéricamente, la aproximación será más exactas.

2.Problemas:
1. Considere el sistema de ecuaciones diferenciales de orden 1
u1't=u1t-u2t+2u2't=-u1t-u2(t) + 4tt∈0,∞, u10=-1, u20=0.a) (Teórico) Usando transformada de Laplace determine la solución del sistema anterior.
L{u'1t}=L{u1t}-L{u2t}+2L{1} (1)
Lu'2t=-L{u1t}-L{u2t}+4L{t} (2)
L{u'1t}=L{u1t}-L{u2t}+2L{1} (1)
Lu'2t=-L{u1t}-L{u2t}+4L{t} (2)
SFS-u10=FS-G(S)+2S (1)
SGS-u20=-GS-F(S)+4S2(2)
GS=u10-(S-1)F(S)+2S (1)*
(1)*en (2)
S+1u10=-FSS2-1+2s+1S- u20=-FS+4S2-S+1-FSS2-2+2S-4S2=0 FSS2-2=-S+1+2S-4S2=0FS=-12(S-2) -12(S-2) -1S+12(S+2)+12(S-2)+122(S-2)-122(S+2)+2S2-12(S-2)-12(S+2) F(S)=24(S+2)-1S-2S2+24(S-2)u1== 24e-2t-1+2t-24e2tu'1== e2t2-e2t2+2u2 = 2+24e2t-2-24e2t-2t-1b) Para t 2 [0; 1] use el método de Euler para sistemas, con tamaño de paso h = 0; 1, para aproximarlas soluciones del sistema anterior. Compare sus resultados con las soluciones exactas que obtuvo en el ítem anterior.
Solución:
a)
Al obtener los valores a mano, utilizando el programa de Excel nos da que:
h u1 u2
0
0,1
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
0,8
0,9
1.0 -0,90033367-0,80267735-0,70908135-0,62167728
-0,54272082-0,47463688-0,42006818-0,3819282-0,36345954-0,36829887-1...