Arimetica
Sin embargo, la teoría de los conjuntos es lo suficientemente rica como para construir el restode objetos y estructuras de interés en matemáticas:números, funciones, figuras geométricas, ...; y junto con la lógica permite estudiar los fundamentos de esta. En la actualidad se acepta que el conjunto de axiomas de la teoría de Zermelo-Fraenkel es suficiente para desarrollar toda la matemática.
Además, la propia teoría de conjuntos es objeto de estudio per se, no sólo como herramienta auxiliar,en particular las propiedades y relaciones de los conjuntos infinitos. En esta disciplina es habitual que se presenten casos de propiedades indemostrables o contradictorias, como la hipótesis del continuo o la existencia de un cardinal inaccesible. Por esta razón, sus razonamientos y técnicas se apoyan en gran medida en la lógica matemática.
El desarrollo histórico de la teoría de conjuntos seatribuye a Georg Cantor, que comenzó a investigar cuestiones conjuntistas «puras» en la segunda mitad del siglo XIX, precedido por algunas ideas de Bernhard Bolzano e influenciado por Richard Dedekind. El descubrimiento de las paradojas de la teoría cantoriana de conjuntos propició los trabajos de Bertrand Russell, Ernst Zermelo, Abraham Fraenkel y otros a principios delsiglo XX.Índice [ocultar] * 1 Teoría básica de conjuntos * 1.1 Álgebra de conjuntos * 2 Teoría axiomática de conjuntos * 3 Véase también * 4 Referencias * 5 Bibliografía * 6 Enlaces externos |
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[editar]Teoría básica de conjuntos
Artículo principal: Conjunto.
La teoría de conjuntos más elemental es una de las herramientas básicas del lenguaje matemático.Dados unos elementos, unos objetos matemáticos —como números o polígonos por ejemplo—, puede imaginarse una colección determinada de estos objetos, un conjunto. Cada uno de estos elementos pertenece al conjunto, y esta noción de pertenencia es la relación relativa a conjuntos más básica. Los propios conjuntos pueden imaginarse a su vez como elementos de otros conjuntos. La pertenencia de unelemento a a un conjunto A se indica como a ∈ A.
Una relación entre conjuntos derivada de la relación de pertenencia es la relación de inclusión. Una subcolección de elementos B de un conjunto dado A es un subconjunto de A, y se indica como B ⊆ A.
Ejemplos.
* Los conjuntos numéricos usuales en matemáticas son: el conjunto de los números naturales N, el de los números enteros Z, el de los númerosracionales Q, el de los números reales R y el de los números complejos C. Cada uno es subconjunto del siguiente:
* El espacio tridimensional E3 es un conjunto de objetos elementales denominados puntos p, p ∈ E3. Las rectas r y planos α son conjuntos de puntos a su vez, y en particular son subconjuntos de E3, r ⊆ E3 y α ⊆ E3.
[editar]Álgebra de conjuntos
Artículo principal: Álgebra deconjuntos.
Existen unas operaciones básicas que permiten manipular los conjuntos y sus elementos, similares a las operaciones aritméticas, constituyendo el álgebra de conjuntos:
* Unión. La unión de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∪ B que contiene cada elemento que está por lo menos en uno de ellos.
* Intersección. La intersección de dos conjuntos A y B es el conjunto A ∩ B que contienetodos los elementos comunes de A y B.
* Diferencia. La diferencia entre dos conjuntos A y B es el conjunto A \ B que contiene todos los elementos de A que no pertenecen a B.
* Complemento. El complemento de un conjunto A es el conjunto A∁ que contiene todos los elementos (respecto de algún conjunto referencial) que no pertenecen a A.
* Diferencia simétrica La diferencia simétrica de...
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