Aritmetica

EL CAMPO DE LOS NUMEROS REALES

PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES BINARIAS CON NUMEROS

Dado que en matemáticas regularmente se efectúan operaciones con conjuntos de números, se ha establecido una nomenclatura para identificar los distintos conjuntos de números, la cual se representa de la siguiente manera:

• N Conjunto de números naturales.

• Z Conjunto de números enteros.• Q Conjunto de números racionales.

• I Conjunto de números irracionales.

• R Conjunto de números reales.

Los números reales también se consideran como conjunto universal. Existen determinadas propiedades para efectuar operaciones con números, las cuales se mencionan en seguida.

Operación binaria. Ésta consiste en tomar dos elementos de un conjunto para efectuarla,y una vez realizada, se obtiene un solo elemento como resultado.

Propiedad de Cerradura. Ésta se presenta cuando el resultado de una operación definida pertenece al mismo conjunto.

Ejemplos:

A + b = c ( N

(d)(e) = r( N

El conjunto de los números es cerrado en las operaciones de suma y multiplicación.

Propiedad conmutativa. Ésta nos indica que el orden en que se efectúe unaoperación definida no cambia el resultado, es decir, variar el orden de los sumandos o factores no altera la suma o el producto.

Ejemplos:

a, b, e y d ( N

a + b = b + a y (c)(d) = (d)(c)

Propiedad asociativa. Varios sumandos o varios factores se pueden asociar como se desee sin que esto afecte el total de la suma o el producto, es decir, la forma en que se agrupen los sumandos ofactores no afectará el resultado de la operación.

Ejemplos:

a, b, e, d y e ( N

a + (b + c) + (d + e) = (a + b + c) + (d + e)

y

(ab)(cd) e = b (ac)(de)

Propiedad distributiva de la multiplicación basada en la suma. La suma de dos o más números se multiplica por el factor, o bíen..el factor se multiplica por cada sumando y después los productos parciales se suman.

Ejemplos:a, b y e ( N

a (b + c) = ab + ac

Ejercicios

I. Compruebe la propiedad conmutativa en los ejercicios siguientes:

II. Determine que la propiedad conmutativa es valida en los ejercicios siguientes:

III. Demuestre que la propiedad asociativa es valida en los ejercicios siguientes:

IV. Compruebe la propiedad distributiva en los ejercicios siguientes:

NÚMEROSNATURALES

El ser humano desde tiempos remotos tuvo la necesidad de utilizar símbolos para poder representar y contar con cantidades cualquier cosa, de ahí que los mayas emplearan, por ejemplo, los siguientes símbolos para ordenar la posesión de especies:

[pic]

Esto mismo los romanos lo representaban así:

|I |II |III|IV |V |
|uno |dos |tres |Cuatro |cinco |
|VI |VII |VIII |IX |X |
|seis |Siete |Ocho|Nueve |Diez |
|XI |XII |XIII |XIV |XV |
|Once |Doce |Trece |catorce |quince |

A su vez, los árabes lo simbolizaban así:1,2,3,4,5. 6, 7. 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15

Si el elemento cero (0) se agrego al conjunto de la simbología árabe, entonces el conjunto se denominara "conjunto de los números naturales", es decir, los números que utilizamos para contar son el conjunto de los números naturales, que, ademas de conocerse también como "conjunto de los números enteros naturales", se representa con la...