ARMA y Promedio movil

ARMA. Modelos estacionarios no estacionales 
Publicado por Rosana Ferrero | Etiquetas: ARMA, MA, R | en 09:31
Los modelos de regresión pueden dar cuenta de componentes no estacionarios, sin embargo, no consideran la correlación temporal de los residuales. Por ello, consideraremos modelos estacionarios que pueden ser utilizados para series de residuos que contengan tendencias o ciclosestacionales no obvios. El modelo estacionario ajustado puede combinarse con un modelo de regresión para mejorar los pronósticos. 


1. Modelos de media móvil MA(q) 

Definición: un proceso MA de orden 1 es una combinación lineal del término de ruido blanco actual y los q términos de ruido blanco del pasado más reciente. 
X(t) = w(t) +beta_1*w(t−1) + . . . + beta_q*w(t−q) 

donde {w(t)} es un ruido blancocon media cero y varianza sigma^2. 
También podemos escribir esta ecuación en términos del operador de cambio de retardo B: 

X(t)=(1+beta_1*B+…+beta_q*B^q)*w(t)=phi_q(B)*w(t) 
donde phi_q es un polinomio de orden q. 
Como el proceso MA consiste en la suma de términos de ruido blanco estacionarios, son estacionarios y tienen media y autocovarianza invariantes en el tiempo. 

Función “arima”: Elmodelo MA(q) puede ser ajustado a los datos utilizando la función “arima” seleccionando el orden de los parámetros como c(0,0,q). Por defecto, la función “arima” no resta la media y estima un término de intercepto. Asimismo, minimiza la suma condicional de cuadrados para estimar los valores de los parámetros (para verlos debemos seleccionar “method”=c(“CSS”) o utilizarlos como entradas para estimaciónpor máxima verosimilitud). Podemos seleccionar el valor de la media como cero, en logar de estimar el intercepto, utilizando “incluse.mean=FALSE” dentro de la función “arima”. 

Aplicación en R: ajuste de modelos MA a series simuladas según el modelo MA(3) 
set.seed(1)

b <- c(0.8, 0.6, 0.4)

x <- w <- rnorm(1000)

for (t in 4:1000) {

for (j in 1:3)

{

x[t] <- x[t] + b[j] * w[t - j]

}

plot(x,type = "l")

acf(x)

x.ma <- arima(x, order = c(0, 0, 3))

x.ma #observamos los parámetros estimados y los IC al 95%, que contienen los valores de los parámetros subyacentes.



Aplicación en R: ajuste del modelo MA(1) para la serie de tasas de intercambio 
#Ajuste de modelo MA(1). Serie de tasa de intercambio.

www <- "http://www.massey.ac.nz/~pscowper/ts/pounds_nz.dat"

x <- read.table(www,header = T)

x.ts <- ts(x, st = 1991, fr = 4)

x.ma <- arima(x.ts, order = c(0, 0, 1)) #ajuste MA(1)

x.ma

acf(x.ma$res[-1]) #el modelo no provee un ajuste satisfactorio, los residuos no son una realización realista del ruido blanco



2. Modelos mixtos ARMA 

Definición: cuando juntamos los términos AR y MA en una única expresión obtenemos un modelo de media móvil autorregresivo (ARMA) de orden(p,q): 
X(t)=alfa_1*X(t-1)+…+ alfa_p*X(t-p)+W(t)+beta_1*W(t-1)+…+beta_q*W(t-q) 

donde {W(t)} es un ruido blanco. En términos del operador de retardos B, tenemos: 

theta_p(B)*X(t)=phi_q(B)*W(t) 

El modelo ARMA(p,q) tiene las siguientes características: 
• Es estacionario cuando las raíces de theta son mayores a la unidad, en valor absoluto. 
• Es invertible cuando las raíces de phi son mayores a launidad, en valor absoluto. 
• El modelo AR(p) es un caso especial del ARMA(p,0) 
• El modelo MA(q) es un caso especial del ARMA(0,q) 
• Parsimonia sobre los parámetros: el modelo ARMA es más eficiente (i.e. requiere menores parámetros) que los modelos AR o MA solos. 
• Redundancia de los parámetros: cuando theta y phi tienen un factor común, el modelo estacionario puede simplificarse. 

Función“arima.sim”: los procesos ARMA y ARIMA pueden simularse con esta función. 

Aplicación en R: ajuste una series simulada según el modelo ARMA(1,1) con alfa=-.6 y beta=.5. 
#Ajuste de modelo ARMA(1,1) para una serie simulada con el modelo ARMA(1,1) y parámetros alfa=-.6 t beta=.5.

set.seed(1)

x <- arima.sim(n = 10000, list(ar = -0.6, ma = 0.5))

coef(arima(x, order = c(1, 0, 1))) #como era de...