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NUMEROS COMPLEJOS
Módulo de un número complejo
El módulo de un número complejo es el módulo del vector determinado por el origen de coordenadas y su afijo. Se designa por |z|.



Argumento de un número complejo
El argumento de un número complejo es el ángulo que forma el vector con el eje real. Se designa por arg(z).
Para calcular el argumento, calculamos el arcotangente de b/aprescisdiendo de los signos, para ubicar el cuadrante en que se encuentra tendremos en cuenta:

Expresión de un número complejo en forma pol
z = rα
|z| = r (r es el módulo)
arg(z) = α (α es el argumento)




Ejemplos de conversión de la forma polar a la forma binómica:
z = 2120º
Para pasar de la forma polar a la binómica, tenemos que pasar en primer lugar a la forma trigonométrica: ¥comprobarvínculo
z = rα = r (cos α + i sen α)

Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1
z =1180º = −1
z =190º = i
z =1270º = −i
Ejemplos de pasar a la forma polar:
Ejemplo 1






Números complejos iguales
Dos números complejos son iguales si tienen el mismo módulo y el mismo argumento.

Números complejos conjugados
Dos números complejos son conjugados si tienen elmismo módulo y opuestos sus argumentos.

Números complejos opuestos
Dos números complejos son opuestos si tienen el mismo módulo y sus argumentos se diferencian en π radianes.

Números complejos inversos
El inverso de un número complejo no nulo tiene por módulo el inverso del módulo y por argumento su opuesto.

Multiplicación de complejos en forma polar
La multiplicación de dos númeroscomplejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es el producto de los módulos.
Su argumento es la suma de los argumentos.

Ejemplo:
Producto por un complejo de módulo 1
Al multiplicar un número complejo z = rα por 1β se gira z un ángulo β alrededor del origen.


División de complejos en forma polar
La división de dos números complejos es otro número complejo tal que:
Su módulo es elcociente de los módulos.
Su argumento es la diferencia de los argumentos.

Ejemplo:

Potencia de complejos en forma polar
La potencia enésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la potencia n−ésima del módulo.
Su argumento es n veces el argumento dado.

Ejemplo:

Fórmula de Moivre

Ejemplo:

Raíz enésima de complejos en forma polar

La raízenésima de número complejo es otro número complejo tal que:
Su módulo es la n raíz enésima del módulo.

Su argumento es:


Ejemplo:







Conversión de coordenadas polares a cartesianas

x = r · cos α
y = r · sen α
Ejemplo:

Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
10º = (1, 0)
1180º = (−1, 0)
190º = (0, 1)
1270º = −(0, −1)



Conversión de coordenadas cartesianas apolares


Ejemplo 1 Ejemplo 2



Ejemplo 3 Ejemplo 4





Ejemplo 5 Ejemplo 6


Ejemplo 7 Ejemplo 8





Forma trigonométrica
a + bi = rα = r (cos α + i sen α)Formas:
Binómica
z = a + bi

Polar
z = rα

Trigonométrica
z = r (cos α + i sen α)








Ejemplo 1 Ejemplo 2


Ejemplo 3 Ejemplo 4Ejemplo 5 Ejemplo 6




Ejemplo 7 Ejemplo 8


Ejemplo de escribir en forma binómica

Reales e imaginarios puros de módulo unidad:
z =10º = 1
z =1180º = −1
z =190º = i
z =1270º = −i




Unidad imaginaria
Se...