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TRABAJO INDIVIDUAL

Trabajo realizado por: Rubén Coloma Canals
Curso: 2012/2013
Asignatura: Matemática aplicada a la ingeniería II

Enunciado común:
Dado un campo escalar _(x; y; z; t) y uno vectorial v(x; y; z; t), se dice que verifican la
ecuación de continuidad (en forma integral) en una región si:
𝑑

𝑑𝑡

∭ 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)d𝑥 d𝑦 d𝑧 = − ∬ 𝑑Ω 𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) d𝐒 (1)
ΩDonde ∂Ω es la superficie que encierra a Ω. Si ρ(x, y, z, t) y v(x, y, z, t) representan la
densidad y campo de velocidades de un fluido, la ecuación (1) es la ecuación de
conservación de la masa: la variación temporal de masa en Ω es igual al balance de
masa a través de la superficie que rodea a Ω.
Si la ecuación (1) se verifica para cualquier Ω, entonces la ecuación de continuidad esequivalente a su forma diferencial.
𝜕

𝜕𝑡

𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡) = − div(𝜌(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)𝐯(𝑥, 𝑦, 𝑧, 𝑡)) (2)

Donde la divergencia es en las variables espaciales.

Enunciado general:
El trabajo consiste en comprobar si se verifica la ecuación de continuidad para
determinados campos ρ(x, y, z, t) y v(x, y, z, t) y para cierta región Ω.
Se pide:
1.-Calcular la integral triple que aparece en el ladoizquierdo de (1) en
coordenadas cartesianas para el recinto asignado.
2.-Calcular la integral triple que aparece en el lado izquierdo de (1) en coordenadas
cilíndricas (adaptadas).
3.-Calcular de forma explícita (directa, como integral de superficie) la integral de
superficie que aparece en el lado derecho de (1).
4.-Utilizar el Teorema de Gauss (o de la divergencia) para calcular la integral desuperficie que aparece en el lado derecho de (1).
5.-Comprobar si se verifica (1) para los campos asignados.
6.-Comprobar si se verifica (2) para los campos asignados.

Regiones:
Región Ω3
Región que se obtiene al girar alrededor del eje horizontal (consérvese la
nomenclatura de los ejes) el siguiente gráfico (las curvas que delimitan la figura son
líneas rectas):
En primer lugarrealizamos una representación de la figura de nuestro ejercicio para
así poder tener una mayor visión espacial a la hora de abordar el ejercicio. Esta figura
se consigue utilizando el paquete “draw” e introduciendo las funciones q describen el
desarrollo de nuestra figura en las tres dimensiones.

Enunciados particulares de los trabajos
Trabajo 9
Recinto: Ω3.
Campo escalar: ρ(x, y, z, t) = cte.Campo vectorial: v(x, y, z, t) = (− x + y − 3z, 2x − 2z − 3, x + y + z).

Resolución del ejercicio:
Apartado 1:
En primer lugar hayamos los límites en los que se encuentra nuestra figura
dependiendo del eje que tratemos en cada momento:
-

En primer lugar introducimos la ecuación que define los conos que se
producen si vemos la figura de revolución respecto al eje “z” podemos
observarque es un cono achatado por lo que la en vez de “x” colocamos
“x/2” y esta desplazado dos unidades, hecho por el cual se introduce el
“+1” también en la función. (que para un cono estándar seria �𝑥 2 − 𝑦 2 )

-

-

2
2
𝑧
𝑧
−�� + 1� − 𝑦 2 ≤ 𝑥 ≤ �� + 1� − 𝑦 2
2
2

En segundo lugar introducimos la ecuación que define la recta que
produce la figura si la observamos respecto del eje “y”.Esta recta esta
desplazada una unidad en el eje “y” respecto del eje “x” y sube media
unidad en el eje “y” por cada una que se desplaza en el eje “x”.
𝑧
𝑧
−( + 1) ≤ 𝑦 ≤ + 1
2
2

En tercer lugar la recta que se produce en el eje “x” es una recta
horizontal existente entre los puntos 0 y 2 que nos delimitan la anchura
de ambos conos.
0≤ 𝑧≤2

Una vez hallados los límites que definiránlos recintos de integración que deberemos
utilizar para poder hallar de manera correcta el volumen, en primer lugar de media
figura y posteriormente el de la figura al completo:
Realizaremos una integral triple para hallar el volumen de media figura:
-

En primer lugar integraremos respecto a “x” y dicha integral será:
�� 𝑥+1� −𝑦2

�

2

𝑥
2

2

2

−�� +1� −𝑦2

𝑥
2

2...