asdasdd

UNIDAD VI. ECUACIONES DIFERENCIALES.
15 Hrs.

6.1 Definición de una ecuación diferencial.
6.2 Origen de las ecuaciones diferenciales.
6.3 Una clasificación de las ecuaciones diferenciales.
6.4 Solución general y particular de una ecuación
diferencial.
6.5 Métodos de solución de ecuaciones diferenciales de
primer orden y primer grado.
6.5.1 Ecuacionesdiferenciales de variables separables.
6.5.2 Ecuaciones diferenciales homogéneas.
6.5.3 Ecuaciones diferenciales exactas.
6.5.4 Ecuaciones diferenciales lineales.
6.5.5 Ecuaciones diferenciales de Bernoulli.
6.6 Aplicaciones de las ecuaciones diferenciales.























6.1 DEFINICIÓN DE UNA ECUACIÓN DIFERENCIAL.


¿Qué es una ecuación?. Las que conoces son:entonces si observas, todas tienen una o varias incógnitas y la relación de igualdad.

¿Qué es una ecuación diferencial?.

Ejemplo 6.1.1























6.2 ORIGEN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES


Siglos XVII y XVIII origen de las ecuaciones diferenciales.

Las ecuaciones diferenciales se originan en losprincipios del cálculo, con Isaac Newton y Gottfried Wilheln Leibnitz en el siglo XVII.

Newton clasificó las ecuaciones de primer orden de acuerdo con las formas y


En 1675 Leibnitz asentó en un papel la ecuación:


descubrió el método de separación de variables, así como procedimientos para resolver las ecuaciones homogéneas de primer orden y las ecuaciones lineales de primer orden.


ANewton y Leibnitz , siguieron la familia Bernoulli: Jacob, Johann y Daniel. Con ayuda del cálculo formularon y resolvieron las ecuaciones diferenciales de muchos problemas de mecánica. Entre ellos el de la braquistócroma que conduce a las ecuaciones no lineal de primer orden




En aquel tiempo, pasar de la ecuaciones a la forma diferencial y, entonces, afirmar que las integrales en amboslados de la ecuación debían ser iguales, excepto por una constante, constituyó ciertamente un avance

trascendental. Así por ejemplo, mientras Johann sabía que no era para p = -1 no sabía que . Sin embargo, pudo demostrar que la ecuación , que podemos resolver escribiéndola como


tiene la solución .


A principio del siglo XVIII Jacobo Riccati, matemático italiano, consideróecuaciones de la forma .


Leonardo Euler, trabajó sobre el planteamiento de problemas de la mecánica y su desarrollo de métodos de solución para estos problemas matemáticos. También , mediante un cambio adecuado de variables, redujo ecuaciones de segundo orden a ecuaciones de primer orden; Creó el concepto de factor integrante; en 1739 dio un tratamiento general a las ecuaciones diferencialeslineales ordinarias con coeficientes constantes; contribuyó al método de las soluciones en series de potencias y dio un procedimiento numérico para resolver las ecuaciones diferenciales.


Posteriormente en el siglo XVIII, los grandes matemáticos franceses Joseph-Louis Lagrange (1736-1813) y Pierre-Simon Laplace (1749-1827) hicieron importantes aportaciones a la teoría de las ecuacionesdiferenciales ordinarias y, además, dieron por primera vez un tratamiento a las ecuaciones diferenciales parciales.











6.3 CLASIFICACIÓN DE LAS ECUACIONES DIFERENCIALES















ORDINARIAS


ECUACINES
DIFERENCIALES


PARCIALESLINEALES

PRIMER ORDEN

EC. DIFERENCIALES NO LINEALES
ORDINARIAS


ORDEN SUPERIOR
A PARTIR DEL SEGUNDO





Si una ecuación contiene solo derivadas ordinarias de una o más...