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20. VALOR ABSOLUTO

DEFINICIÓN

El valor absoluto de un número real "a", denotado por |a|, se define por la regla:


Se lee: El valor absoluto de "a", es igual al mismo número "a", si "a" es positivo o cero o igual a su opuesto -a, si "a" es negativo.

Ejemplo:
|5| = 5 …. Sólo se borran las barras, pues 5 es positivo.

|-3| = - (-3) = 3 … Al borrar las barras, se cambia de signode -3 a 3. Pues -3 es negativo.

Interpretación geométrica del valor absoluto de un número real

El valor absoluto de un número real indica gráficamente la longitud del origen al número "a" o la longitud del origen al número -a.


Ejemplo:


Para dos números "a" y "b": |a - b| = |b - a|

Representa la distancia entre estos puntos, sin importar la dirección; así, la distanciaentre a = -4 y b = 3 es:

|a - b| = |-4 - 3| = |-7| = 7;

|b - a| = |3 - (-4)| = |7| = 7

Geométricamente se representa:





EJERCICIOS BÁSICOS

* Completa la siguiente tabla:


* Completa usando los símbolos: < ó >.

a) |-5| _____ 0

b) |-1,01| _____ 1,02

c) -|219| _____ -218

d) -|-2006| _____ -2007

e) | - | _____ 1 -

f) |2 - | _____ - 3g) - | - e| _____ Op(4e - )

h) |- |2 - || _____ 1 -



TEOREMAS SOBRE VALOR ABSOLUTO

TEOREMA 1

 a  IR : |a|  0

Demostración:
Si consideramos:

Si: a< 0 |a| =-a  -|a| = a  -|a|< 0 |a| > 0
Si: a = 0 |a| = a = 0
Si: a > 0 |a| = a |a| > 0

 |a|  0

TEOREMA 2
a  IR : |a|2 = a2
DEMOSTRACIÓN:
Por definición de potencia: |a|2 = |a| |a|Si: a  0  |a|2 = a . a |a|2 = a2
Si: a < 0  |a|2 = (-a)(-a) |a|2 = a2


TEOREMA 3
a  IR : |a| =
DEMOSTRACIÓN:
Se sabe: |a|2 = a2
Entonces:
|a| =

TEOREMA 4
a  IR : |a| = |-a|
DEMOSTRACIÓN:
Si: a > 0  |a| = a
Por (-1) : -a < 0 |-a| = -(-a) = a  |a| = |-a|

Si: a = 0  |a| = 0
Por (-1) : -a = 0 |-a| = 0  |a| = |-a|Si: a < 0  |a| = -a
Por (-1) : -a > 0 |-a| = -a  |a| = |-a|


TEOREMA 5
a,b  IR : |ab| = |a| |b|

DEMOSTRACIÓN:

Se sabe: |ab| =
TEOREMA DE POTENCIA: |ab| =

Entonces: |ab| = . = |a| |b|


TEOREMA 6
a,b  IR, b 0, entonces:

Sea:  ................ (i)
Entonces: a = bc |a|=|bc|=|b||c|... (ii)
Luego, de (i) y (ii) :TEOREMA 7
a,b  IR : |a+b||a|+|b| (desigualdad triangular)

DEMOSTRACIÓN:
Consideremos: |a| |b|  ab
2 |a| |b|  2ab
a2 + b2 + 2|a| |b|  a2 + b2 + 2ab
|a|2 + |b|2 + 2|a| |b|  a2 + b2 + 2ab
(|a| + |b|)2 (a + b)2

|a| + |b|  |a+b|
|a+b| |a| + |b|

OBSERVACIÓN:
|x+y| = |x| + |y|  xy  0
|x+y| <|x| + |y|  xy < 0


ECUACIONES CON VALOR ABSOLUTO

Los teoremas que permiten la solución de ecuaciones con valor absoluto son los siguientes:

TEOREMA 01
|a| = b  b  0  (a = b v a = -b)


DEMOSTRACIÓN:
Se sabe |a|  0,  a  IR

Entonces, si: |a| = b, implica que: b  0 ... (i)

Por definición: |a| = a v |a| = -a

Luego, si: |a|=b  b=a v b=-a  a=b v a=-b...(ii)

Por lo tanto, de (i)  (ii):
|a| = b (b  0)  (a=b v a=-b)

Ejemplo:

Resolver:
* |x| = 5

|x| = 5  5  0  (x = 5 v x = -5)

C.S.: x {-5; 5}


Resolver:
* |x + 1| = 8

Resolución:

|x+1| = 8  8  0  (x + 1 = 8 v x +1 = -8)
x = 7 v x = -9
C.S.: x  {7; -9}


Resolver:
* |3x+2| = 5

Resolución:

|3x+2| = 5  5  0  (3x + 2= 5 v 3x + 2 = -5)
3x = 3 3x = -7
x = 1 v x = - 7/3
C.S.: x  {1; -}

TEOREMA 02
|a| = |b|  a = b v a = -b

DEMOSTRACIÓN
Consideremos dos casos: b  0 y b < 0

i) Si: b  0 |b| = b

Luego: |a| = |b| |a| = b  a = b v a = -b

ii) Si: b < 0 |b| = -b > 0

Luego: |a| = |b|  |a|= -b  a = -b v a = -(-b)...