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VECTORES
VECTOR.- Es una representación matemática
que gráficamente se representa por un
segmento de recta orientado y presenta:
• MÓDULO.- Es la longitud o magnitud
del vector.
• DIRECCIÓN.- Es la línea sobre al cual
se encuentra el vector.
• SENTIDO.- Está definido por la flecha
del vector.
Se les utiliza para representar a las magnitudes
vectoriales

A

R

α
B

rrr
R = A+B

El módulo del vector resultante es:

y
Dirección

R=

Sentido

A2 + B 2 + 2 AB cos α

Cuando: α=0º, se obtiene el valor máximo de
la resultante, y su valor será:

θ

RMÁX = A + B

x
NOTACIÓN:

 = Se lee, vector A.
A

Cuando: α=180º se obtiene el valor mínimo de
la resultante, y su valor será:

A = Se lee, módulo del vector A

RMÍN = A - B

OPERACIONESVECTORIALES
I.- SUMA DE VECTORES
Es una operación que tiene por finalidad hallar
un único vector denominado vector resultante,
r
( R ) el cual reemplaza a los vectores a sumar.

MÉTODOS PARA DETERMINAR LA
RESULTANTE

CONCLUSIÓN: El módulo de la resultante de
dos vectores se encuentra en el siguiente
intervalo:
RMÍN ≤ R ≤ RMÁX

Ejemplo: Determinar el módulo del vector
resultante de losvectores de módulos 5 y 8
que forman 120º entre sí.
Según los datos: A = 5; B= 8 y α = 120º

A. MÉTODO DEL PARALELOGRAMO
Reemplaza los datos en la ecuación:

Se utiliza para calcular la resultante de dos
vectores concurrentes y coplanares que tienen
un mismo punto de origen.
Gráficamente se construye un paralelogramo
trazando paralelas a los vectores. El vector
resultante se traza uniendoel origen de los
vectores con la intercepción de las paralelas

R = A2 + B 2 + 2 AB cos α
R = 5 2 + 8 2 + 2 × 5 × 8 × ( − 1 / 2)
R = 25 + 64 − 40 =
R=7

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B. MÉTODO DEL POLÍGONO
Este método consiste en colocar a los vectores
uno a continuación del otro. El vector
resultante de todos los vectores a sumar es
aquel vector que se inicia en el origen del
primer vector y termina en elextremo del
último vector.
C

R

RESTA DE VECTORES
A

D

α
B
r
El vector D , representa la resta de los
r
r
vectores A y B y se expresa así:

rrr
D = A− B
B

rr
rr
Se cumple que: D = A − .B = B − A
El módulo del vector resta es igual a:

A

rrrr
El vector resultante es: R = A + B + C

D = A2 + B 2 − 2 AB cos α

CASO PARTICULAR:

PROBLEMAS PROPUESTOS

B
C
ACuando los vectores consecutivos forman un
polígono cerrado, su resultante es cero.

rrrrr
R = A+ B +C = 0
Ejemplo: Calcular el módulo del vector
resultante de los tres vectores mostrados en la
figura, si A= 3; B= 4.
C
B

A
La resultante de los vectores de la figura se
rrrr
expresa así: R = A + B + C
rr
En la figura se observa que: C = A + B
r
rrr
r
Entonces: R = C + C → R = 2C→ R = 2C

Aplicando el Teorema de Pitágoras:

C = A2 + B 2 → C = 32 + 4 2 → C = 5
Finalmente: R = 2×5 → R = 10

1. Calcular el módulo de la resultante de dos
vectores de módulos 6 y 10 unidades que
forman 60º, entre sí.
A) 4
B) 14
C) 16
D) 18
E) 20
2. La máxima resultante que se puede obtener
r
r
con dos vectores A y B es 18 y la mínima
resultante es 4. Calcular los módulos delos
r
r
vectores A y B .
A) 10 y 8
B) 11 y 7
C) 9 y 9
D) 10 y 6
E) 9 y 3
3. Se sabe que dos vectores perpendiculares
entre sí, donde uno de ellos tiene un
módulo de 10 unidades, dan una resultante
de módulo 26, ¿qué valor tiene el módulo
del otro vector?
A) 12
B) 16
C) 5
D) 20
E) 24

r
4. Un vector A de módulo 22 está dirigido
r
hacia arriba, un vector B de módulo 15
estádirigido hacia la derecha, un tercer
r
vector C de módulo 6 dirigido hacia abajo
y un cuarto vector de módulo 3 dirigido
hacia la izquierda. Calcular el módulo del
vector resultante de los cuatro vectores.
A) cero
B) 28
C) 25
D) 20
E) 22

5. Determinar la resultante, si el módulo del
r
vector x es igual a: x=5.

B) 2
E) 3

A) 2
D) 2 2

C)

2 /2

10. Determinar el módulo...