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UAEH, ICBI, CIMA, LIMA
An´lisis Matem´tico I, Sexto Semestre
a
a
Profesor: Rub´n A. Mart´
e
ınez Avenda˜ o
n

Tarea 3
Esta tarea deber´ entregarse el lunes 17 de febrero, a m´s tardar a las7 de la tarde, en el buz´n en
a
a
o
mi oficina del CIMA. La tarea debe estar escrita de forma legible, en limpio, en hojas tama˜o carta, y bien
n
engrapadas. Las tareas que no cumplan con estosrequisitos no recibir´n ning´n cr´dito.
a
u
e

1. Usa la definici´n de l´
o
ımite para demostrar que
6n2 − 2n + 1
= 2.
n→∞ 3n2 + 4n + 2
lim

2. Sup´n que {an } y {bn } son sucesionesreales que convergen a a y b respectivamente. Si b = 0, demuestra
o
que
an
a
lim
= .
n→∞ bn
b
an
En particular, demuestra que el cociente
est´ bien definido para n ≥ N0 , donde N0 es un naturalfijo.
a
bn
3. Demuestra que los l´
ımites de sucesiones son unicos.
´
4. Demuestra el teorema de estricci´n para sucesiones.
o
5. Sea A un subconjunto de R, no vac´ y acotado y sea α := sup A.Demuestra que si α ∈ A, entonces
ıo
/
existe una sucesi´n {xn } estrictamente creciente tal que xn ∈ A para todo n ∈ N y xn converge a α.
o
√
6. Define la sucesi´n {an } recursivamente por la reglaan+1 = ( 2)an para n ≥ 1.
o
• Si a1 = 1 demuestra que la sucesi´n {an } converge y di quien es el l´
o
ımite.
• Si a1 = 6 demuestra que la sucesi´n {an } no tiene l´
o
ımite, a pesar de que laecuaci´n que “encuentra
o
el l´
ımite” da un resultado.
7. Sean 0 < y1 < x1 fijos y define recursivamente las sucesiones {xn } y {yn } por medio de las f´rmulas
o
xn+1 =

xn + yn
2

y

yn+1=

√

xn yn

• Demuestra que 0 < yn < xn para toda n ∈ N.
• Demuestra que {xn } es decreciente y {yn } es creciente.
• Demuestra que {xn } y {yn } est´n acotadas.
a
• Concluye que ambassucesiones convergen y que adem´s tienen el mismo l´
a
ımite (este n´mero es
u
conocido como la media aritm´tica-geom´trica de x1 y y1 ).
e
e
8. Sea nk una sucesi´n creciente de n´meros...