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Actividades del final de la unidad
1. Una partícula de masa m, situada en un punto A, se mueve en línea recta hacia otro punto B, en una región en la que existe un campo gravitatorio creado por una masa M. Si el valor del potencial gravitatorio en el punto B es mayor que en el punto A, razona si la partícula se acerca o se aleja de M. La partícula se aleja de M, ya que viaja hacia potencialescrecientes. Recuerda que el potencial gravitatorio es negativo y tiende a cero (aumenta) cuando nos alejamos de la masa que crea el campo. 2. Una partícula puntual de masa m1 = 100 kg está situada en el origen, O, de un cierto sistema de coordenadas. Una segunda partícula puntual de masa m2 = 30 kg está situada sobre el eje X en un punto A, cuyas coordenadas son (6, 0) m. Determina: a) El módulo, ladirección y el sentido del campo gravitatorio en el punto B de coordenadas (2, 0) m. b) El punto sobre el eje X para el cual el campo gravitatorio es nulo. c) El trabajo realizado por el campo gravitatorio cuando la masa m2 se traslada desde el punto A al punto C, de coordenadas (0, 6) m. Dato: G = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2. La gráfica que representa la situación física descrita por el enunciadodel problema es la siguiente:
Y C (0, 6)

m 1 = 100 kg
O B (2, 0)

g 1,B

m 2 = 30 kg
A (6, 0)

g 2,B X

a) En el punto B se superponen los campos procedentes de m1 y m2:
8 8 g = –G · M · ur 8 r2

8 g1,B = –6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·

100 kg (2 m)2 30 kg
2

· i = –1,67 · 10–9 · i N/kg9
8 8

8

8

a) Por tanto:

b) El campo se anula entre las masas a una distancia xde m1; por tanto: G· 100 30 100 x =G· 8 = 2 2 x (6 – x) 30 6–x

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° § ¢ § £

8 g2,B = 6,67 · 10–11 N · m2 · kg–2 ·

(4 m)
8

· i = +1,25 · 10–10 · i N/kg–

8 8 8 g B = g 1,B + g 2,B = –1,545 · 10–9 · i N

( )

2

Unidad 2. Campo gravitatorio

De las dos posibles soluciones, solo x = 3,88 m es aceptable, pues la otra, x = 13,27 m, corresponde un punto no comprendido entrem1 y m2. c) Para calcular el trabajo gravitatorio, determinamos la variación de la energía potencial gravitatoria entre ambos puntos: WA 8 C = –DEp = (–Ep – Ep ) = Ep – Ep
C A A C

Ep = –
A

G · m1 · m2 rA G · m1 · m2 rC
C

Ep = –
C A

Como rA = rC = 6 m 8 Ep = Ep = 8 DEp = 0. Por tanto, el trabajo del campo gravitatorio es nulo. 3. Una partícula puntual de masa 4 · M se coloca en elorigen de un cierto sistema de coordenadas, mientras que otra, de masa M, se coloca sobre el eje X a una distancia de 1 m respecto al origen. Calcula las coordenadas del punto donde el campo gravitatorio es nulo. El campo gravitatorio solo puede anularse entre las masas. Si llamamos x a la distancia desde el origen donde esto sucede, quedará:
Y x
1–x

m=4·M

g
1m

g'

m' = M
X

G · m4G · m4 G · 4 · M4 G·M x 8 8 4= = = 2 2 2 r4 r4 x (1 – x)2 1–x

( )

2

8 ±2 =

x 1–x

De las dos soluciones posibles para x solo tiene sentido físico x = 0,67 m. La otra solución, x = 2 m, no es aceptable. 4. Calcula el campo gravitatorio y el potencial gravitatorio que una masa puntual de 40 kg produce en un punto situado a 12 m. La figura que representa la situación física descrita porel enunciado es:
m = 40 kg
ur
8 La expresión del vector intensidad del campo gravitatorio, g, es: 8 g = –G ·

g P

m 8 · ur r2

8 8 donde el signo negativo nos indica que los vectores g y u r tienen sentidos opuestos.

Unidad 2. Campo gravitatorio

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Sustituyendo datos numéricos, resulta:
8 g = –G ·

40 kg 8 8 8 · u r 8 g = –0,28 · G · u r N · kg–1 (12 m)2 m r

El potencialgravitatorio, Vg (r), vale:

Vg (r) = –G ·
por lo que su valor en el punto dado será: Vg (r) = –G ·

40 kg = –3,3 · G J · kg–1 12 m

Sustituyendo el valor de la constante de la gravitación universal, G (puede consultarse en las tablas del final del libro del alumno), resulta:
8 8 g = –1,87 · 10–11 · u r N · kg–1

V = –2,2 · 10–10 J · kg–1 5. ¿A qué distancia del centro de la Tierra se...