Atomo De Hidrogeno

Fundamentos de Química Teórica

EL ÁTOMO DE HIDRÓGENO: UNA
SOLUCIÓN EXACTA DE LA ECUACIÓN DE
SCHRÖDINGER

M
m

sistema real
M = masa nuclear

m = masa del electrón

µ

∞

sistema modelo
 M ·
µ =
¸m
m
+
M

¹

El átomo de hidrógeno está compuesto por un núcleo y un electrón. La
evidencia experimental es que el núcleo y el electrón tienen cada uno su
propia masa M y m, respectivamente, y unmovimiento independiente
aunque se perturban mutuamente. Una representación esquemática es la
del sistema real en la figura anterior.
La mayor complejidad del átomo de hidrógeno para la aplicación de la
ecuación de Schrödinger es la presencia de las dos partículas (el núcleo
y el electrón). Por ello es preciso crear un sistema modelo (ver figura)
donde se considera un núcleo de masa infinita y elelectrón con una
masa µ que se conoce como masa reducida.
Otra complejidad es que se trata de un sistema tridimensional, pero esta
es preciso tenerla en cuenta en todo el desarrollo.

© Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2003.

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Consideraremos un potencial de una partícula cargada de masa µ con
respectoa un núcleo de carga opuesta y masa ∞:
− Ze 2
V = V ( x, y , z ) =
4πε o x 2 + y 2 + z 2
lo que daría una expresión clásica para la energía total del sistema:
1 2
p x + p 2y + p z2 + V ( x, y, z ) = E
µ
Para trabajar en mecánica cuántica reemplazamos las magnitudes
dinámicas px, py, pz y E por sus operadores diferenciales y queda la
ecuación de operadores:
 2  ∂ 2
∂
∂2
∂ 2 
(
,
,
)

+
V
xy
z
=
i
−
+
+
2 µ  ∂x 2 ∂y 2 ∂z 2 
∂t
Obsérvese que la componente potencial no varía de la forma clásica a la
cuántica.

(

)

Usaremos la ecuación de Schrödinger para encontrar la función de
onda Ψ ( x, y, z , t ) de este sistema:
 2  ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ ∂ 2 Ψ 
∂Ψ
(
)
−
+
+
+
V
x
,
y
,
z
Ψ
=
i

2 µ  ∂x 2 ∂y 2
∂t
∂z 2 

2 2
∂Ψ
−
∇ Ψ + VΨ = i 
2µ
∂t
2

al aplicar el operador laplaciano ∇ =∂2
∂x

2

+

∂2
∂y

2

+

∂2
∂z

2

.

© Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba, 2003.

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Desarrollo de la solución para el átomo de
hidrógeno:
Haciendo una separación de variables inicial, dado que el potencial no
depende del tiempo:
Ψ ( x, y, z , t ) = ψ ' ( x, y, z )e

−

iEt


entonces, la ecuación deSchrödinger independiente del tiempo para
el átomo de hidrógeno queda como:

2 2
−
∇ ψ ' ( x, y, z ) + V ( x, y, z )ψ ' ( x, y, z ) = Eψ ' ( x, y, z )
2µ

Para la solución de esta ecuación diferencial el preciso separar las
variables de las tres dimensiones, en tres ecuaciones de una sola
variable. Ello se logra con coordenadas esféricas mediante una
transformación lineal tal que
x = r sin θ cosφ
y = r sin θ sin φ
z = r cosθ
y por tanto
Oˆ ψ ' ( x, y, z ) = ψ (r ,θ , φ )
donde el valor propio del operador de transformación es evidentemente
unitario.
Así se simplifica sobre todo al potencial, pues solo depende de la
distancia al núcleo (coordenada r):
− Ze 2
V = V (r ) =
4πε 0 r

© Reservados todos los derechos de reproducción. Luis A. Montero Cabrera, Universidad de La Habana, Cuba,2003.

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El laplaciano en coordenadas esféricas queda:
 ∂2 
1 ∂ 2 ∂
1
1
∂ 
∂ 
2
∇ ≡ 2 r
 + 2 2  2  + 2
 sin θ

∂
∂
θ
θ
r
r
∂
∂



 rφ
r
r sin θ  ∂φ  rθ r sin θ
φθ

Finalmente, la ecuación de Schrödinger en términos de coordenadas
esféricas queda, en forma general:

2 2
−
∇ ψ (r ,θ , φ ) + V (r )ψ (r ,θ , φ ) = Eψ (r ,θ , φ )
2µ
con una función deonda que debe ser separable o factorable según:

ψ (r ,θ , φ ) = R(r )Θ(θ )Φ(φ )
para lograr una solución viable.
La ecuación expandida queda como:
 ∂2 
∂ 
∂  
2  1 ∂  2 ∂ 
1
1


−
+ 2

r
 +
 sin θ
  RΘΦ
∂θ 
∂θ  rφ 
2µ  r 2 ∂r  ∂r φθ r 2 sin 2 θ  ∂φ 2 
sin
θ
r
rθ


+ V (r )RΘΦ = ERΘΦ
Ejecutando las derivaciones parciales y reordenando adecuadamente:

1 d 2Φ
sin 2 θ d...