Avanzadas

Ejercicios a resolver:

Resuelve cada uno de los siguientes problemas, para ello es necesario que
revises y comprendas los ejemplos explicados en el material. No olvides incluir
todo el procedimiento necesario para llegar a la respuesta.
1. Determina la distancia entre los puntos A y B de cada uno de los incisos
a. A( 2,3,7) y B(3, 2,0)
b. A(1,0, 3) y B( 7,5,8)
c. A(3,3,3) y B( 5,8,2)
d.A(2, 4,6) y B( 1,3, 8)
2. Demuestre matemáticamente que la distancia entre el punto A y B es igual que
la distancia entre el punto B y A. ¿Por qué? Justifica tu respuesta.
A(1,3, 3) y B( 3,3,1)
3. Realiza las operaciones indicadas para cada uno de los siguientes vectores:
A( 2,4, 7); B(3, 1,4); C ( 5, 3, 1); D(6,1,3)
a. A+ B
b. B+C
c. A+C
d. C + D
e. D B
f. C 3 A
g. 3 B 2 D
1

h. −2 A− 2 D
1
i. A+B 2 C 3 D

4. Realiza las operaciones indicadas y representa el resultado utilizando los
vectores unitarios canónicos. A( 2, 1, 3); B ( 2,1, 5); C (2,3,1)
a. 3 A 2 B
b. C 3 A

2
c. 2 C + 3 B

5. Considera los siguientes puntos P (5, 2,3) ; Q ( 1,6,2) . Encuentra el valor
del punto R para que se cumplan las siguientes condiciones:
PQ
PR
a. V   = 2 V  
  −V 
PQ
PR
b. 3 V  =
6. Determina el ángulo entre los vectores de cada uno de los siguientes vectores
a. u= − 3i − 2 j− 4 k ; v= 5 i− j3 k
b. u= 2 i 3 j 8 k ; v= i  4 j − 7 k

c. u= 3 i 4 j 6 k ; v= 2 i − 3 j 2 k
7. Determina la proyección de:
a. u= 5 i− 3 j  k sobre v = i 2 j 3 k
7
2
1
b. u= 3 i + j 3 k sobre v = 5i – 4 j 7 k
5
c. u= 4 i +2 j 3 k sobre v = 7 i− 3 j 6k
8. Determina el producto cruz que se indica para cada par de vectores:
a. u= − 2 i 3 j 4 k y v = 7 i− 5 j − 2 k
• u× v
• v× u
u= 5 i 4 j 2 k y v = 3i − j8 k
b.
• u× v
• v× u
u= − i− 4 j − 6 k y v = − 5 i 3 j− k
c.
• u× v

Procedimientos:

1.x
x
Para calcular la distancia |PQ| entre dos puntos P  1, y 1, z 1 y Q 2, y 2, z 2  se

utiliza la siguiente fórmula
2
2
2 = 2− x 1  2− y 1 2− z 1 
PQ 
x
y
z

(1)

a. Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1 tenemos
que la distancia entre los puntos A y B es
∣AB∣=√(3 ( 2))2 +( 2 3)2 +( 0 7) 2=√52+( 5)2+( 7)2=√25+ 25+ 49
∣AB∣=√99

b. Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1 tenemos
que la distancia entre los puntos A y B es
∣AB∣=√( 7 1) 2+(50)2+(8 ( 3))2= √( 8)2 +52 +112 =√64+25+121
∣AB∣=√210

c. Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1 tenemos
que la distancia entre los puntos A y B es
∣AB∣=√( 5 3)2 +(8 3)2 +(2 3) 2=√( 8) 2+5 2+( 1) 2= √64+25+1
∣AB∣=√90

d. Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1
tenemos que la distancia entre los puntos A y B es
∣AB∣=√( 1 2)2 +(3 ( 4))2 +( 86)2=√( 3)2 +72 +( 14)2 =√9+49+196
∣AB∣=√230

2.Sustituyendo las coordenadas de los puntos A y B en la fórmula 1 tenemos que
la distancia entre los puntos A y B es
∣AB∣=√( 3 1)2 +(3 3)2 +(1 ( 3))2=√( 4) 2+ 02 + 42= √16+ 0+16
∣AB∣=√32

Sustituyendo las coordenadas de los puntos B y A en la fórmula 1 tenemos que
la distancia entre los puntos B y A es
∣BA∣= √ ( 3)) 2+(3 3) 2+( 3 1)2=√4 2+0 2+( 4)2= √16+ 0+16
(1
∣BA∣= √32

vemos que
 =
AB BA

sucede así porque distancia entre dos puntos es función de los cuadrados de la
diferencia de cada una de las componentes de los puntos.

3.a. Sumando los vectores componente a componente
A B=  2 3,4− 1,− 7 4
−

obtenemos
A B= 
1,3,− 3

3−
b. Sumando los vectores componente a componente BC =  5,− 1− 3,4− 1obtenemos
BC=  2,− 4,3
−

c. Sumando los vectores componente a componente
A+C=( 2 5,4 3, 7 1)

obtenemos

A+C=( 7,1, 8)

d. Sumando los vectores componente a componente
C + D =( 5+6, 3+1, 1+3)

obtenemos
C D=  2,2
1,−

e. Restando los vectores componente a componente
D − B=  3,1−  1 3− 4
6−
− ,

obtenemos
D B=(3,2, 1)

f. Multiplicando los vectores por los...