Ave Fenix

9.

DEFLEXIONES EN VIGAS.

Curva de Deflexión: Eje longitudinal de una viga deformada debido a fuerzas laterales. Deflexiones: Importantes en las respuestas de edificios a cargas permanentes o muertas, transitorias o vivas y sismos, ya que deben estar dentro de los límites permitidos en el C.9 del NSR-10. 9.1. ECUACIONES DIFERENCIALES DE LA CURVA DE DEFLEXIÓN Deformada o curva de deflexión dela viga y deflexión (+) hacia arriba

o : Centro de curvatura. ρ : Radio de curvatura.

ρdθ = ds
k= 1

ρ

=

dθ ds

Curvatura. Pendiente de la curva de deflexión.

dy = tanθ dx

dx dy  dy  cosθ = sen θ =  ds ds  dx  Para vigas con rotaciones pequeñas tanθ ≈ θ , sen θ ≈ θ , cosθ ≈ 1 y ds ≈ dx

θ = arctan

k=

1

ρ

=

dθ dx

θ ≈ tanθ =

dy dx

dθ d 2 y = dxdx 2

k=

1

ρ

=

d2y dx 2

175

Para una viga dentro del rango elástico lineal
M ρ EI M: momento EI: Rigidez a flexión k=

1

=

Ecuación diferencial de la curva de deflexión
d2y M = . dx 2 EI

EIy´´= M ( x)

Convenciones. 1) Los ejes x e y son positivos hacia la derecha y hacia arriba. 2) La deflexión y es (+) hacia arriba. dy 3) La pendiente y θ son (+) antihorario.dx 4) La curvatura k es (+) con concavidad hacia arriba. Las ecuaciones siguientes para Vigas Prismáticas (Sección constantes)

dV = −w dx dM =V dx d2y M = EI 2 dx d  d 2 y  dM  EI = =V  dx  dx 2  dx 

EI EI

d3y =V dx 3 d4y = −q dx 4

d  d3y   EI  = −w dx  dx 3   
Simplificando:
EIy´´= M EIy´´´= V EIy´´´´= − w

Ecuación de Momento Flexionante Ecuación de fuerzacortante Ecuación de la carga.

10.2. DEFLEXIONES POR INTEGRACIÓN - ECUACIÓN ELÁSTICA. o Para cada región de la viga sustituimos la expresión de M en la ecuación diferencial y la integramos para obtener la pendiente y´, se obtienen además unas constantes.

176

o Se integra cada ecuación de pendiente para obtener la deflexión correspondiente y; sale una nueva constante.
Las constantes sedeterminan a partir de tres tipos de condiciones.

a) Condiciones de frontera: Se refiere a las deflexiones y pendientes en los soportes de una viga por ejemplo en un apoyo simple y=0 y en un empotramiento y=0; y1 = 0 .
P A yA=0 B yB=0 yA=0 y'A=0 P

b) Condiciones de continuidad. Se dan en los puntos donde las regiones de integración confluyen o la deflexión yc es igual tanto para la parte izquierdacomo para la derecha.
P A C B

c) Condiciones de Simetría: por ejemplo: una viga que soporta una carga uniforme en toda la longitud, la pendiente en el centro de la viga debe ser cero. PROBLEMA 9.1. Determine la ecuación de la curva de deflexión. δ max y ángulos de rotación θ A y θ B en los apoyos.
dV = −w dx EIy´´´´= − w

V = ∫ − wdx
0

x

V = − wx + C1 wl Pero: C1 = 2 wl V = − wx + 2dM =V dx
EIy´´´= V

0≤x0 4 4 L 3P M (x ) = x − P < x − >1 4 4 dy EIθ = EIy ' = EI dx 3P L EIy ' ' = x−P< x− > 4 4 3P 2 P L EIθ = x − < x − > 2 +C1 8 2 4 P 3 P L 3 EIy = x − < x − > +C1 x + C 2 8 6 4 P A L/4 P 3L/4 B

3P/4

P/4

Condiciones de frontera: y A = y (0) = 0 P L EIy (0) = 0 − < − > 3 +0 + C 2 = 0 6 4 P P L EIy ( L) = L3 − < L − > 3 +C1 L + 0 8 6 4

y B = y ( L) = 0 C2 = 0 C1= − 180 7 PL2 128

y=

L Px 3 P 7 PL2 − < x − >3 − x 8 EI 6 EI 4 128
P

PROBLEMA 9.4: Calcular la deflexión en C
V (x ) = −

A

B L/2

C

P 3P 3L 0 + < x − L > 0 −P < x − > L 2 2 2 P 3P 3L 1 M (x ) = − + < x − L >1 − P < x − > 2 2 2 P 3P 3L < x − L >1 − P < x − > EIy ' ' = − x + P/2 2 2 2 P 3P P 3L 2 EIθ = − x 2 + < x − L >2 − < x − > +C1 4 4 2 2 3L 3 P P P EIy = − x 3 + < x − L >3 − < x − > +C1 x + C 2 12 4 6 2 Condiciones de frontera: y A = y (0) = 0 y B = y ( L) = 0 P P 3L 1 < −L >3 − +0 + C 2 y A = y ( 0) = 0 + C2 = 0 4 EI 6 EI 2 PL3 P P 3L y B = y ( L) = − − < 0 >3 − < L− > +C1 L = 0 12 EI 4 EI 6 EI 2 PL2 PL3 yB = − + C1 L = 0 C1 = 12 EI 12 EI P 3 P P 3L 3 PL2 y=− x + < x − L >3 − < x− > + x 12 EI 4 EI 6 EI 2 12 EI
3

P

3P/2

2 P  3L  P P  3L   3L ...