Axioma De La Escojencia

EL AXIOMA DE ESCOGENCIA
Quizá es el axioma más controvertido de la axiomática conjuntista, pues históricamente no ha sido aceptado por todas las escuelas de matemáticos. Por ello, los partidariosdel mismo se han esforzado en buscar equivalencias con otras proposiciones que en otros sistemas lógicos se consideran como puntos de partida.
Con el fin de obtener una clara exposición sobre esteparticular, desarrollamos el concepto de la buena ordenación que poseen los conjuntos y que ya Cantor lo había utilizado en sus primeros trabajos sobre los números transfinitos.
Históricamente el axiomade escogencia fue introducido primero por Zermelo [1904] para demostrar que todo conjunto puede bien ordenado. Hasta las dos o tres últimas décadas, probablemente la principal aparición del axioma enmatemática general se hizo a través del teorema de buena ordenación y la aplicación de la inducción transfinita a la buena ordenación garantizada por el teorema. Sin embargo, la tendencia rete entrelos matemáticos ha sido evitar la inducción transfinita y usar algún principio maximal.
Lema de Zorn Z1: Si A diferente de 0 Y si la suma de cada cadena no vacía a que sea un subconjunto de A está enA, entonces A tiene un elemento máximo.
Este principio maximal se bautiza después de Zorn [1935], pero la historia de él y de algunos principios maximales que le están ligados, es muy confusa.Ciertamente Zorn fue precedido esencialmente por F. Hausdorff, C. Kuratowski y R. L. Moore, por lo menos. Más adelante se dan algunas variantes en la formulación del lema de Zorn, particularmente elprincipio maximal de Hausdorff, el cual data de 1914.
Lema de Teichmüller-Tukey: T. C
Cualquier conjunto de carácter finito tiene elemento máximo.
Demostración:
Teorema 19. El lema T de Teichmüller-Tukeyes equivalente al lema de Zorn Z1
Demostración. La demostración solamente como un complemento. Primero demostramos que Z, implica T. Sea A conjunto de carácter finito y sea C cualquier cadena que...