Axioma

Axioma:
1.1 Un axioma es una premisa que se considera «evidente» y es aceptada sin requerir una demostración previa. En un sistema hipotético-deductivo, es toda proposición que no se deduce de otras, sino que constituye una regla general de pensamiento lógico, por oposición a los postulados.
En matemática, un axioma es una premisa que, por considerarse evidente, se acepta sin demostración, comopunto de partida para demostrar otras fórmulas. Tradicionalmente, los axiomas se eligen de entre las consideradas «verdades evidentes» porque permiten deducir las demás fórmulas.
En lógica matemática, un postulado es un proposición, no necesariamente evidente: una fórmula bien formada de un lenguaje formal utilizada en una deducción para llegar a una conclusión.
En matemática se distinguen dostipos de proposiciones: axiomas lógicos y postulados.
1.1.1. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. AXIOMA - Axioma es una proposición evidente en sí misma y por lo tanto, no necesita demostración.
Por ejemplos tenemos los axiomas euclidianos: El todo es igual a la suma de las partes. El todo es mayor que cadauna de las partes.
Entre dos puntos pasa una única línea recta.
TEOREMA- Teorema es una proposición que para ser evidente necesita demostración. Por ejemplo: La suma de los ángulos de un triángulo es igual a dos ángulos rectos.
Ejemplo: Si dos rectas paralelas se cortan con una recta secante se cumple la relación de ángulos sigüiente:
1 - Los ángulos alternos/internos son iguales.
2 - Los ángulos alternos/externos son iguales.
3 - Los ángulos correspondientesson iguales.
4 - Los ángulos colaterales internos son suplementarios.
5 - Los ángulos colaterales externos son suplementarios. Axiomas, definiciones, teoremas, lemas, corolarios. 2
Siempre que te enfrentas a un problema es muy importante que lo sitúes en su contexto apropiado.
Esto ya lo haces de forma automática en muchas ocasiones. Por ejemplo, sabes que un
problema de álgebra y otro deprobabilidades requieren distintas herramientas, y al primero lo
sitúas en “Álgebra” y al segundo en “Cálculo de Probabilidades”. Pero no siempre las cosas
son tan claras, no siempre tienes un “marco de referencia” tan explícito. Para que sientas lo que
quiero decirte, voy a proponerte unos ejercicios muy sencillos. En todo lo que sigue se supone
que x; y son números reales.
1. Prueba que 0 x D 0.2. Prueba que .x/y D xy.
3. Prueba que si x ¤ 0 entonces x2 > 0.
Supongo que hace ya tanto tiempo que conoces estas propiedades de los números que
has olvidado cuándo las aprendiste. ¡Y ahora te pido que las demuestres! Puedo imaginar tu
reacción ¿que demuestre que 0 x D 0?, ¡pero si eso es evidente! ¡siempre me han dicho que es
así! ¿cómo se puede demostrar tal cosa?.
Pienso que muchasveces la dificultad de un ejercicio está en que no sabes qué es exactamente
lo que se te pide que hagas; no te dan un marco claro de referencia. En estas situaciones
lo más frecuente es “quedarse colgado” con la “mente en blanco” sin saber qué hacer.
Para evitar ese peligro, en este curso vamos a dar un marco de referencia muy claro que va
a consistir en unas propiedades de los números –axiomas, si quieres llamarlas así – que vamos
a aceptar como punto de partida para nuestro estudio. Esas propiedades, junto con las reglas
de inferencia lógica usuales y con definiciones apropiadas nos permitirán demostrar resultados
(teoremas) que podremos usar para seguir avanzando.
Simplificando un poco, puede decirse que en matemáticas no hay nada más que axiomas
y teoremas (bueno, tambiénhay conjeturas, proposiciones indecidibles. . . ). Todo lo que se
demuestra es un teorema; por ejemplo 0 x D 0 es un teorema. Ocurre que el nombre teorema
se reserva para resultados que se consideran realmente importantes y que ha costado esfuerzo
llegar a probarlos. Se usan también los términos: corolario, lema, proposición y otros. Pero
la estructura de una teoría matemática elaborada se...