axiomas

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III
Dejamos que AB denota la línea única que contiene A y B.
These tres axiomas ya dan lugar a mucha geometría interesante, llamada "geometría incidencia". Dados tres puntos A, B, C, por ejemplo, dos de ellas abarcan una línea única, y tiene sentido hablar sobre el triángulo ABC. Del mismo modo podemos estudiar configuraciones más complicadas. El modelo cartesiano R2 del planoeuclidiano, donde las líneas son los conjuntos de soluciones de ecuaciones lineales no trivial ax + by = c, es un ejemplo obvio, como son los subconjuntos obtenidos si se restringe a, b​​, c, x, y a ser números racionales (Q2), los enteros (Z2), o de hecho cualquier subring fijo de R. sin embargo, la geometría esférica, donde S es una esfera y las líneas son grandes círculos, no es un ejemplo, ya quecualquier par de puntos antípodas se encuentra en un número infinito de círculos - de ahí la singularidad en I1 no se sostiene. Esto se puede corregir mediante la identificación de cada par de puntos antípodas en la esfera. Entonces se obtiene una geometría incidencia llamado el (real) proyectiva plano P2. Una manera de pensar acerca de los puntos de P2 es tan rectas que pasan por el origen en R3. Sila esfera tiene centro en el origen, tal línea determina y se determina por el par antípoda de puntos de intersección entre la línea y la esfera. Una "línea" en P2 puede entonces ser considerado como un plano throuh el origen en R3, desde un plano corta a la esfera tales precisamente en un gran círculo. Observe que en esta interpretación la relación de incidencia P ∈ l corresponde a la relación"de la línea de l está contenida en el plano P".
También son geometrías de incidencia finitos - el más pequeño tiene exactamente tres puntos donde las líneas son los tres subconjuntos de dos elementos.
El siguiente grupo de axiomas se ocupa de la relación "B está entre A y C". En la geometría euclidiana esto es significativo para los tres puntos A, B y C mienten en la misma línea recta. Lasgeometrías finitas demostrar que no es posible dar sentido a tal relación en cada geometría incidencia, por lo que esta es una nueva pieza de la estructura, y tenemos que declarar las propiedades que necesitamos. Usaremos la notación A * B * C para "B está entre A y C".
Axiomas de Hilbert de intermediación son entonces: BBBBB
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Si pensamos en A, B y C, los vértices de un triángulo, otraformulación de B4 es la siguiente: Si una línea l pasa por un lado de un triángulo, pero ninguno de sus vértices, entonces también va a través de exactamente una de la otra lados. Esta formulación también es llamado el axioma de Pascua. Tenga en cuenta que esto no es cierto en Rn, n ≥ 3. Por lo tanto I3 y B4 juntos definen la geometría como "2-dimensional '.
En el plano norma euclidiana (y enotros ejemplos que estudiaremos más adelante) podemos utilizar el concepto de distancia para definir intermediación. Es decir, podemos definir A * B * C en el sentido de que A, B son C son distintos y d (A, C) = d (A, B) + d (B, C), donde d (X, Y) es la distancia entre X e Y. (Compruebe que B1-4 luego celebrar!) Esta Q2 manera también se convierte en un ejemplo, pero no Z2, desde B4 no estásatisfecho. (Ejercicio 3)
Observe también que cada abierto, subconjunto convexo K de R2 (por ejemplo, el interior de un disco circular) satisface todos los axiomas hasta ahora, si dejamos que las "líneas" sean las intersecciones no vacías entre líneas en R2 y K, e intermediación se define como en R2. (Este ejemplo será importante más adelante.) El plano proyectivo, sin embargo, no se puede dar talrelación. La razón es que en el modelo esférico de P2, las "líneas" son grandes círculos donde se han identificado puntos antípodas, y estos espacios de identificación pueden volver naturalmente ser identificados con los círculos. Pero si tenemos tres puntos distintos en un círculo, cada uno de ellos es igualmente mucho "entre" los otros. Por lo tanto B3 no puede ser satisfecha.
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Betweenness...