Axiomas

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  • Publicado : 13 de enero de 2010
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Desde Euclides, los matemáticos siempre han intentado formular una serie de verdades absolutas e incontrovertibles, llamados “axiomas”, para luego deducir de ellos toda clase de conclusiones útiles.Pero con el teorema de Gödel las cosas cambiaron. Gödel utilizó el rigor de las matemáticas para demostrar, sin lugar a dudas, que las matemáticas mismas son incompletas.
Pero vayamos por partes.Para enunciar axiomas hay una serie de reglas. Primero: los axiomas deben ser los menos posibles. Y segundo: tiene que ser imposible deducir de ellos dos conclusiones que se contradigan mutuamente.
Enlos manuales de matemáticas de cualquier colegio ya empezamos a aprender los primeros axiomas. El más conocido, sin duda, es el de “por dos puntos cualesquiera sólo se puede trazar una recta” o “eltotal es la suma de las partes”. Los matemáticas, pues, son una gozada, porque, a diferencia de otras disciplinas del conocimiento, con ellas sí parece que podamos llegar a verdades absolutas, a lasabiduría de verdad.
Pero la realidad no es tan bonita. Durante muchos años se creyó que los axiomas de Euclides eran los únicos que podían constituir una geometría consistente. La únicas verdades a lasque podíamos agarrarnos. Pero en el siglo XIX se demostró que modificando de cierta manera los axiomas de Euclides se podían constituir geometrías diferentes y también consistentes. A partir de esemomento, la gente ya no sabía cuál de esas geometrías era la verdadera.
Tal vez la pregunta no debería cuál es la verdadera sino cuál es la útil. Porque conjuntos de axiomas a partir de los cualespuedan surgir sistemas matemáticos consistentes hay muchos, y todos ellos son distintos entre sí. Esto va en contra de una de las reglas sobre los axiomas: que no pueden contradecirse mutuamente.
Peroimaginad el siguiente enunciado: “El enunciado que estoy haciendo es falso“.
Si es falso, entonces es falso que estoy diciendo algo falso y tengo que estar diciendo algo verdadero. Pero si estoy...
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