axiomatico

ma axiomático, Propiedades, Consistencia relativa, Modelos, Método axiomático



En las matemáticas, un sistema axiomático es cualquier conjunto de axiomas de los que algunos o todos los axiomas se pueden utilizar en combinación para derivar lógicamente teoremas. Una teoría matemática consiste en un sistema axiomático y todos sus teoremas derivados. Un sistema axiomático que estácompletamente descrito es un tipo especial de sistema formal, por lo general, sin embargo, los esfuerzos hacia la formalización completa trae rendimientos decrecientes en la seguridad, y la falta de legibilidad para los humanos. Una teoría formal normalmente significa un sistema axiomático, por ejemplo, formulado en la teoría de modelos. Una prueba formal es una versión completa de una prueba matemáticadentro de un sistema formal.
Propiedades

Un sistema axiomático se dice que es coherente si carece de contradicción, es decir, la capacidad para derivar tanto una declaración y su negación de los axiomas del sistema.
En un sistema axiomático, un axioma se llama independiente si no es un teorema que se puede derivar de otros axiomas en el sistema. Un sistema se llama independiente si cada uno desus axiomas subyacentes es independiente. Aunque la independencia no es un requisito necesario para un sistema, la consistencia es.
Un sistema axiomático se llama completo si para cada declaración, por sí mismo o su negación es derivable.
Consistencia relativa

Más allá de la coherencia, la consistencia relativa es también la marca de un sistema axiomático que vale la pena. Esto es cuando lostérminos no definidos de un primer sistema axiomático se proporcionan definiciones de un segundo de tal manera que los axiomas de la primera son Teoremas de la segunda.
Un buen ejemplo es la consistencia relativa de la geometría neutra o geometría absoluta con respecto a la teoría del sistema de números reales. Las líneas y los puntos son términos no definidos en la geometría absoluta, pero asignansignificados en la teoría de los números reales de una manera que es consistente con ambos sistemas axiomáticos.
Modelos

Un modelo para un sistema axiomático es un conjunto bien definido, que asigna significado de los términos no definidos que se presentan en el sistema, de una manera que es correcta con las relaciones definidas en el sistema. La existencia de un modelo concreto demuestra laconsistencia de un sistema. Un modelo se llama concreto si los significados asignados son objetos y relaciones del mundo real, en oposición a un modelo abstracto que se basa en otros sistemas axiomáticos.
Los modelos también pueden usarse para mostrar la independencia de un axioma en el sistema. Mediante la construcción de un modelo válido para un subsistema sin un axioma, es mostrar que el axiomaomitida es independiente si la corrección no se desprende necesariamente del subsistema.
Dos modelos se dice que son isomorfos si una correspondencia exacta se puede encontrar entre sus elementos, de una manera que preserva su relación. Un sistema axiomático para la que cada modelo es isomorfo a otro se denomina categorial, y la propiedad de categoriality garantiza la integridad de un sistema.Método axiomático

El método axiomático implica la sustitución de un cuerpo coherente de proposiciones por una colección más simple de proposiciones. Los axiomas están diseñados de modo que el cuerpo original de proposiciones se puede deducir de los axiomas.
El método axiomático, llevado al extremo, como resultado logicismo. En su libro Principia Mathematica, Alfred North Whitehead y BertrandRussell intentaron demostrar que toda teoría matemática podría reducirse hasta cierto conjunto de axiomas. En términos más generales, la reducción de un cuerpo de proposiciones a una colección particular de axiomas desmiente programa de investigación del matemático. Esto fue muy importante en las matemáticas del siglo XX, sobre todo en temas en torno a álgebra homological.
La explicación de los...