PROBABILIDAD AXIOMÁTICA.
Páginas: 6 (1419 palabras)
Publicado: 14 de julio de 2014
7.- PROBABILIDAD AXIOMÁTICA.
Hemos visto que actualmente se usan varias definiciones de probabilidad. En párrafos anteriores hemos discutido las definiciones de probabilidad, a partir de resultados igualmente probables y de resultados obtenidos en muchos ensayos. Al estudiar álgebra y geometría, hemos aprendido que los axiomas son fundamentales en los sistemas matemáticos. De la misma manera,los matemáticos han establecido un conjunto de axiomas para el caso de la probabilidad. Aquí estudiaremos un planteamiento axiomático de la probabilidad.
El cálculo de probabilidades tiene como fundamento la teoría de los conjuntos y se desarrolla a partir de tres axiomas o postulados del evento de probabilidad. En esta sección estudiaremos estos axiomas con referencia al espacio muestralfinito.
El primer axioma es la positividad: La probabilidad de un evento es no negativo, es cero o positivo. Cuando P{ E } = 0, decimos que E es el conjunto vacío, que no tiene puntos muestrales. Como es claro el conjunto vacío se refiere a un evento imposible; ejemplos, la probabilidad de que una persona mida 4 metros es cero; la probabilidad de que un ser humano nunca muera es cero. El axioma dela positividad puede ser simbolizado, P{ E } ³ 0.
El segundo axioma es certidumbre: Este axioma manifiesta que la probabilidad de todo el espacio muestral en 1, es decir, P{ W } = 1 . Alternativamente, decimos que la probabilidad de un evento que ciertamente ocurrirá es 1; por ejemplo, la probabilidad de muerte fina1 de un Individuo es 1.
Obsérvese que los dos primeros axiomas indican que laprobabilidad de cualquier evento varía entre 0 y 1. Por lo tanto, tenemos que:
0 £ P{ E } £ 1.
El tercer axioma se refiero a las uniones: Supongamos que E es un resultado compuesto de dos eventos simples e1 y e2. ¿Cuál es la probabilidad de la aparición de E. Debemos tener que:
P{ E } = P{ e1} + P{ e2}
puesto que, en cada prueba de un experimento, exactamente un evento simple (o puntomuestral) puede ocurrir. Esta es la consecuencia del axioma de las uniones, que puede expresarse de la siguiente manera: La probabilidad de un evento compuesto E
es la suma dé las probabilidades de los eventos simples de los cuales E es compuesto.
El axioma de las uniones permite concentrar nuestra atención en los sucesos elementales cuando asignamos probabilidades. En cuanto conocemos lasprobabilidades de los puntos muéstrales, sabemos que la probabilidad de cualquier evento definido en al espacio muestral es la suma de las probabilidades de dichos puntos muestrales, cuya unión es el conjunto de eventos.
A partir de estos tres axiomas, podemos ahora deducir las reglas básicas del cálculo de probabilidades, reglas que se usan en el cálculo de las probabilidades de diversos tiposde eventos.
8.- EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Se dice que dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes, o simples, si A y B no contienen ningún punto muestral en común es decir, sí A Ç B = F (A y B = F). Así, los eventos no pueden aparecer simultáneamente
W
A B
La probabilidad de aparición de A o B = A È B es la suma de sus probabilidades
P{ A o B } = P{A È B } = P{ A } + P{ B}
A veces a esta expresión se le llama regla aditiva para eventos mutuamente excluyentes.
EJEMPLO: Una clase contiene 5 estudiantes de matemáticas, 4 estudiantes de física, 8 estudiantes de química y 3 estudiantes de biología, Se escoge al azar a un estudiante para representar la clase. Encontrar la probabilidad de que el estudiante sea de química o de biología.
Para resolver esteproblema, obsérvese que se tienen 20 estudiantes, es decir, 20 resultados igualmente posibles, compuesto de 5 matemáticos, 4 físicos, 8 químicos y 3 biólogos. Luego:
P{ químico o biólogo } = P{ químico } + P{ biólogo }
= 8 + 3 = 11
20 20 20
La regla de la adicíón de los eventos simples puede ser generalizada a cualquier número de sucesos. Por ejemplo, se dice que X sucesos son mutuamente...
Hemos visto que actualmente se usan varias definiciones de probabilidad. En párrafos anteriores hemos discutido las definiciones de probabilidad, a partir de resultados igualmente probables y de resultados obtenidos en muchos ensayos. Al estudiar álgebra y geometría, hemos aprendido que los axiomas son fundamentales en los sistemas matemáticos. De la misma manera,los matemáticos han establecido un conjunto de axiomas para el caso de la probabilidad. Aquí estudiaremos un planteamiento axiomático de la probabilidad.
El cálculo de probabilidades tiene como fundamento la teoría de los conjuntos y se desarrolla a partir de tres axiomas o postulados del evento de probabilidad. En esta sección estudiaremos estos axiomas con referencia al espacio muestralfinito.
El primer axioma es la positividad: La probabilidad de un evento es no negativo, es cero o positivo. Cuando P{ E } = 0, decimos que E es el conjunto vacío, que no tiene puntos muestrales. Como es claro el conjunto vacío se refiere a un evento imposible; ejemplos, la probabilidad de que una persona mida 4 metros es cero; la probabilidad de que un ser humano nunca muera es cero. El axioma dela positividad puede ser simbolizado, P{ E } ³ 0.
El segundo axioma es certidumbre: Este axioma manifiesta que la probabilidad de todo el espacio muestral en 1, es decir, P{ W } = 1 . Alternativamente, decimos que la probabilidad de un evento que ciertamente ocurrirá es 1; por ejemplo, la probabilidad de muerte fina1 de un Individuo es 1.
Obsérvese que los dos primeros axiomas indican que laprobabilidad de cualquier evento varía entre 0 y 1. Por lo tanto, tenemos que:
0 £ P{ E } £ 1.
El tercer axioma se refiero a las uniones: Supongamos que E es un resultado compuesto de dos eventos simples e1 y e2. ¿Cuál es la probabilidad de la aparición de E. Debemos tener que:
P{ E } = P{ e1} + P{ e2}
puesto que, en cada prueba de un experimento, exactamente un evento simple (o puntomuestral) puede ocurrir. Esta es la consecuencia del axioma de las uniones, que puede expresarse de la siguiente manera: La probabilidad de un evento compuesto E
es la suma dé las probabilidades de los eventos simples de los cuales E es compuesto.
El axioma de las uniones permite concentrar nuestra atención en los sucesos elementales cuando asignamos probabilidades. En cuanto conocemos lasprobabilidades de los puntos muéstrales, sabemos que la probabilidad de cualquier evento definido en al espacio muestral es la suma de las probabilidades de dichos puntos muestrales, cuya unión es el conjunto de eventos.
A partir de estos tres axiomas, podemos ahora deducir las reglas básicas del cálculo de probabilidades, reglas que se usan en el cálculo de las probabilidades de diversos tiposde eventos.
8.- EVENTOS MUTUAMENTE EXCLUYENTES
Se dice que dos eventos, A y B, son mutuamente excluyentes, o simples, si A y B no contienen ningún punto muestral en común es decir, sí A Ç B = F (A y B = F). Así, los eventos no pueden aparecer simultáneamente
W
A B
La probabilidad de aparición de A o B = A È B es la suma de sus probabilidades
P{ A o B } = P{A È B } = P{ A } + P{ B}
A veces a esta expresión se le llama regla aditiva para eventos mutuamente excluyentes.
EJEMPLO: Una clase contiene 5 estudiantes de matemáticas, 4 estudiantes de física, 8 estudiantes de química y 3 estudiantes de biología, Se escoge al azar a un estudiante para representar la clase. Encontrar la probabilidad de que el estudiante sea de química o de biología.
Para resolver esteproblema, obsérvese que se tienen 20 estudiantes, es decir, 20 resultados igualmente posibles, compuesto de 5 matemáticos, 4 físicos, 8 químicos y 3 biólogos. Luego:
P{ químico o biólogo } = P{ químico } + P{ biólogo }
= 8 + 3 = 11
20 20 20
La regla de la adicíón de los eventos simples puede ser generalizada a cualquier número de sucesos. Por ejemplo, se dice que X sucesos son mutuamente...
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