Ayudantía n°1 edo

Ayudantía N°1 – Ecuaciones diferenciales de variables separables y exactas
PRIMERA PARTE – ECUACIONES DIFERENCIALES DE VARIABLES SEPARABLES
Teoría
* Es una ED en la que explícitamente se puedenidentificar los términos que participan en ella, pudiendo factorizarse como el producto de una función fx por una función gy. En otras palabras:
dydx=fxgy
* Se resuelve despejando los términosde ambos lados e integrando cada uno de ellos, quedando de la siguiente manera:
fxdx=dygy
* Algunas de las aplicaciones que involucran este tipo de ecuaciones diferenciales son aquellas que tienenque ver con la variación de algo en función del tiempo o algo parecido: crecimiento/decrecimiento, flujo en cañerías, mezclas a diferentes temperaturas, entre otras.
Ejemplos
1) dydx=y2cosxClaramente este es una ecuación diferencial de variables separables, ya que se pueden despejar cada uno de los términos participantes a un lado de la ecuación, por lo que reordenando se llega a losiguiente:dyy2=cosxdxIntegrando,dyy2=cosxdxLo que da como origen a la solución:-1y=senx+c, c∈R |
2) Un cultivo tiene una cantidad inicial N0 de bacterias. Cuando t=1 horas, la cantidad medida debacterias es 32N0. Si la razón de reproducción es proporcional a la cantidad de bacterias presentes, calcule el tiempo necesario para triplicar la cantidad inicial de los microorganismos.
Si bien en esteejercicio con enunciado no se entrega la ecuación diferencial, es posible plantearla a partir de ella. Se nos indica que la razón de reproducción, es decir la tasa dN de crecimiento del número debacterias en un tiempo infinitesimal dt, es proporcional a la cantidad N de bacterias existentes en ese momento, lo que significa que, matemáticamente,dNdt∝N⇒dNdt=kNDespejando cada uno de los términosinvolucrados e integrando, se llega a la solución:lnN=kt+c, c∈RA su vez, del enunciado es posible extraer que existe una solución para la ecuación cuando t=1, lo que hace necesario expresar la ecuación...