Ayudant A Examen

Pontificia Universidad Cat´olica de Chile
Facultad de Matem´aticas
C´alculo 1 MAT1610-4

Ayudant´ıa 15
Repaso Examen
Ayudante:
Mar´ıa Consuelo Fuenzalida
mcfuenzalida@uc.cl

1. Dado el lmite
´
l´ımx2 − 5 = 4. Entonces se cumple que |(x2 − 5) − 4| < 0,07 si |x − 3| < δ
x→3
para los siguientes valores de δ:
I. δ = 0,14
II. δ = 0,01
III. δ = 0,05
a) Solo I.
b) Solo II.
c) Solo I. y II.
d ) Solo II.y III.
e) Todos
2. Calcule l´ım x
x→0

1
x

a) 0
b) ∞
c) 1
d ) −1
e) No existe.
3. Determine los puntos donde
1
n→∞ 1 + x2n

f (x) = l´ım
es continua.
a) (−∞, −1) ∪ (−1, 1) ∪ (1, ∞)
b) x = 1, x = −1c) (−1, 1)
d) x = 0
e) R

1

4. ¿Qu´e valores deben tomar a, b para que f (x)

sea continua en todo R?
a) a = 0, b =

π
2

b) a = 0, b = 0
c) a =

π
,b
π−2

=

π
2−π

d ) a = sen(π − 2), b = cos(π −2)
e) Ninguna de las anteriores.
1

5. Calcule l´ım (cos(2x)) x2
x→0

a) 1
b) ∞
c)

π
2

d) 0
e) e−2

6. Sean f, g : [a, b] → R tal que f (a) = f (b) y f (b) = −g(a) y f (a) = −g(b). De lassiguientes
aseveraciones
I. ∃c ∈ [a, b] tal que f (c) = g(c)
II. ∃c1 ∈ [a, b] tal que f (c1 ) = 0 y ∃c2 ∈ [a, b] tal que g(c2 ) = 0
III. ∃c ∈ [a, b] tal que f (c) = −g(c)
IV. ∃c ∈ [a, b] tal que f (c) = g (c)es o son correctas:
a) Solo I. y II.
b) Solo III.
c) Solo II. y III.
d ) Solo I. , II. y III.
e) Todas son correctas

2

7. Con respecto a la funci´on

π
f (x) = 3x − 2 + cos( x)
2

es correctoafirmar:
a) Por TVI posee al menos 2 ra´ıces reales.
b) Por TVI posee al menos una ra´ız real y por TVM no posee m´as de una.
c) Por TVM posee al menos una ra´ız real.
d ) Por TVM posee al menos dos ra´ıcesreales y por TVI no posee m´as de dos.
e) Por TVI y TVM no posee ra´ıces reales.
√
8. Calcule la derivada de f (x) = exp(arctan( x)).
√
a) f (x) = exp(arctan( x)
b) f (x) =
c) f (x) =
d ) f (x) =
e)f (x) =

1
arctan(x)
√
exp(arctan( x)
1+x2
√
exp(arctan( x)
√
2 x(1+x)
√
exp(arctan( x)
√
2 x

9. Sea p(x) = x3 + 2x + 5. Encuentre p−1 (p(2)).
a) 1
b)

1
14

c) 0
d)
e)

1
2
3
8

10. Un punto se...