Ayudantia_4

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PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA
DE CHILE
Facultad de Matem´aticas y Estad´ısticas
Departamento de Estad´ıstica
EYP1113 Probabilidad y Estad´ıstica
Profesores: Ana Araneda, Ricardo Aravena, Jos´
eQuinlan
Ayudantes: Mat´ıas Castro, Fernando Florenzano, Daniela Hurtado, Paulina Flores, Maria Prado, Frane Sazunic

Ayudant´ıa 4
Problema 1:
Definici´
on: Dada una funci´on f (x) definida en undominio(o soporte) θX , la
Transformada de Laplace de f es la funci´on F definida como:
+∞

e−sx f (x)dx

F (s) = L[f (t)] =
−∞

para todo valor de s en los cuales la integral impropia converge.
Observaci´on: En t´
erminos estrictos estamos definiendo la Transformada de Laplace bilateral. En algunos cursos se
define la Transformada de Laplace unilateral con regi´
on de integraci´
on [0, +∞) respecto ax. En general para muchos
problemas la naturaleza de las funciones involucradas nos har´
an hacer uso de la versi´
on unilateral en vez de la bilateral.
Ejemplos para el curso corresponden a losestudios de distribuciones que se estudien cantidades positivas como el tiempo,
n´
umero de sucesos, etc.

Sea X una variable aleatoria cuya funci´on de densidad de probabilidades f (x) posee comoTransformada de Laplace a F (s) que es diferenciable. Encuentre en funci´on de F (s) y sus
derivadas a
E(X)
E(X 2 )
E(X − E(X))2
Problema 2:
Sea X una variable aleatoria con funci´on de densidad fX = kx +1/2, para todo x ∈ [−1, 1].
1. Determinar los valores de k para los cuales fX (x) es ciertamente una funci´on de
densidad.
2. Calcular la esperanza, la moda y la mediana de X.
3. ¿Para qu´e valores de kse maximiza la varianza de X?

Problema 3:
Considere una variable aleatoria continua X, cuya funci´on de densidad est´a definida como
sigue:
fX (x) = exp −

x−µ
σ

− exp −

x−µ
σ

Calcular su moda ymediana.
Problema 4:
Use y demuestre la desigualdad de Markov para demostrar la desigualdad de Chebyshev.
Desigualdad de Markov: Si X es una variable aleatoria con P(X ≥ 0) = 1 y para la
cual E(X)...