Bachier

Capitulo 6
-

Apl icaciones de la integral

r = n x)

y

[

J

/

I~
~

~

1: 1

. /"

f (xn - g(xt)

...--.r =g(x)

,
.: ~ I

En este cap itulo Aunque en la secci6n 6.2 se volvera al problema de enco ntra r ar ea s po r
int egrac i6n definida, en las secciones posteriores de este capitulo veremos que la integral
def in id a tiene muchas otras interpretaciones,ademas del area.
EI cap itulo empieza con una aplicaci6n de la integral indefinida .

6.1

Otro repaso al movimiento recti lineo

6.2

Otro repaso al area

6.3

Volumenes de s6lidos: metoda de las rebanadas

6 .4

Vo lumenes de s6lidos: metoda de los cascarones

6.5

Longitud de una gratica

6.6

Area de una superficie de revoluci6n

6.7

Valor promedio de una funci6n6.8

Trabajo

6. 9

Presi6n y fuerza del fluido

6.1 0 Centros de masa y centroides
Revisi6n de l capitu lo 6

321

3 22

CAP ITULO 6 Aplicac ion es de la integral

6.1

Otro repaso al movimiento rectiHneo

I Introduccion

EI capitul o 4, A plica ciones de La derivada , e mpez6 con el concepto de l1lov imiento rectilfneo . Si s = f(t) e s la funci6n de posici6n de unobjeto que se mueve e n Ifnea rec ta
entonces sabemos que
'
ve locidad

ds

= v (t) = d t

.,
ace IeraclOn

y

d
= {( ( t) = dv
r'

C omo una consecuencia inmediata de la definici6n de la antiderivada, las cantidades s y v pueden escribirse como integrales indefinidas
set) =

v (O»O
s(O) = 0
0)

lIT
v(O)

0 , mientras que si la f1 ec ha
se dispara hacia abajo desde unaaltura inicial, por ejell1plo h metros del suelo, entonces la s condiciones iniciales son s(O) = h, v(O) < O. Sobre un cuerpo que se ll1ueve e n u na recta vertical
cerca de la superficie terrestre, como la flecha disparada hacia arriba, actua la fuerza de gravedad. Esta fuerza provoca la aceleraci6n de los cuerpos. Cerca de la supelficie de la Tierra se
s upone que la aceleraci6n debida a lagravedad, aCt) = - g, es una constante. La magnitud g de
e sta aceleraci6n es aproximadamente

32 pies/s2 ,

U!ihi4!.I'

9.8 m /s 2

0

980 c m/s 2.

bien,

Movimiento de un proyectil

U n proyectil se dispara vertical mente bacia arriba desde el nivel del suelo con una velocidad inicial de 49 m/s. l,CmU es la velocidad e n t = 2 s? (,CmU es la altura maxima q ue alcanza el proyectil?l,Cuanto tiempo perll1anece e n el aire el proyectil? (,Cual es la velocidad de impacto?

Solucion

Si se empieza con aCt)
vet)

- 9.8, p or integraci6n indefinida obtenemos

=

=

I

( -9 .8) dt = - 9.8t

+ Ct·

(2)

A partir de la condici6n inicial dada v(O) = 49, vemos que (2) implica C t = 49. P or tanto,
vet)

= - 9.8t + 49,

y asi v (2) = - 9.8(2) + 49 = 29.4 m/s.Observe que v (2) > 0 implica que el proyectil se desplaza bacia arriba.
Luego, la altitud del proyectil, medida a partir del nivel del suelo, es la integral indefinida
de la funci6n velocidad,

Cuand o se i gnora la rcs istencia
del ai re, l a Illagnitud de la velueidad de i mp ac lu (r ap id ez ) es l a
mi sma que la vc l oe idad i ni cial
ha cia arriba d es de el nivc l de l
suclo. Ye ael prob lema 32 en
Ius e jcrcic io s 6. I . Esto no es
c ierto cuand o tOJ11 0 y g (x) < 0 sobre la, bl
b) f (x) < 0 y g (x)< O sob re [a , bl
FIGU RA 6. 2.5 Las gniticas de f y g pu eden estar por abajo del eje x

FIGURA 6.2.6

Las graficas de f y

g se cOI·ta n entre sf so bre [a , bI

De fi nicion 6.2.2 .Area acotada POI' d os crraficas

Si fy g s on funciones continuas s obre uni ntervalo [a, b], e ntonces el area A de la region acotada por sus graficas sobre el i ntervalo e sta d ada p or
A=

f

"If(x)

- g(x) I dx.

(4)

II

O bserve q ue (4) se r educe a (2) c uando g(x) = 0 p ara t oda x e n [a , b] . A ntes de usaI' las f6rl11ul as (3) 0 (4), s e Ie p ide trazar las graticas necesarias. Si las CUI'vas s e cruzan sobre el interva-

CAPITULO 6 Ap li...