bachiller en ciencias y letras

Análisis Numérico

UNAH

FÓRMULAS II PARCIAL
Método de Newton-Raphson para sistemas:
Pn = Pn−1 − J ( Pn−1 )−1 F ( Pn ),

n≥1

Matriz Jacobiana:

J (X) =

∂ f1 ∂ f1
···
∂x1 ∂x2

∂ f1∂xn

∂ f2 ∂ f2
···
∂x1 ∂x2
..
..
..
.
.
.
∂ fn ∂ fn
···
∂x1 ∂x2

∂ f2
∂xn
..
.
∂ fn
∂xn

Normas:
n

X

2

∑ xi2

=

1
2

(norma euclídea)

i =1

X

∞

=m´ax {| xi |} (norma infinito)
1≤ i ≤ n

Aproximación de Lagrange de grado n
Para un conjunto de n + 1 datos {( xi , yi )}in=0
n

Pn ( x ) =

∑ L i ( x ) f ( x i ),

donde

Li ( x ) =

i=0

x − xj

∏ xi − x j
j =0

j =i

Con el error
Rn ( x ) =

f (n+1) (ξ ( x )) n
(x − xj )
( n + 1) ! ∏
j =0

Interpolación por trazadores cúbicos
Para un conjunto de n + 1 datos {(xi , yi )}in=0


S0 ( x )
si x0 ≤ x < x1


 S1 ( x )
si x1 ≤ x < x2
S( x ) =
..

.


 S ( x ) si x
n −1
n −1 ≤ x < x n
Donde Si ( x ) = ai + bi ( x − xi ) + ci ( x − xi )2 +di ( x − xi )3 y las condiciones:
Lic. Angel Rivera

Análisis Numérico

UNAH

1. S( x ) es un polinomio cúbico, denotado S j ( x ), en el subintervalo [ x j , x j+1 ] para cada j =
0, 1, · ·· , n − 1.
2. S( x j ) = f ( x j ) para cada j = 0, 1, · · · , n.
3. S j+1 ( x j+1 ) = S j ( x j+1 ) para cada j = 0, 1, · · · , n − 2.
4. S j+1 ( x j+1 ) = S j ( x j+1 ) para cada j = 0, 1, · · · ,n − 2.
5. S j+1 ( x j+1 ) = S j ( x j+1 ) para cada j = 0, 1, · · · , n − 2.
6. Una de las siguientes condiciones de frontera se satisface:
a) S ( x0 ) = S ( xn ) = 0 (frontera libre o natural)b) S ( x0 ) = f ( x0 ) y S ( xn ) = f ( xn ) (frontera sujeta)
Trazador natural



1
0
0
0
0
···
0
 h0 2( h0 + h1 )
h1
0
0
···
0 


0
h1
2( h1 + h2 ) h2
0
···
0 

A =  ..
.. 
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
.
. 


0
···
.
0 h n −2 2 ( h n −2 + h n −1 ) h n −1 
0
···
.
0
0
1
Y b y x son vectores


0





3...