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Septimo Caso: Trinomio de Segundo Grado - Matematica y Listo...

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Ejercicios de Matemática Resueltos y Explicados - Conceptos - Consultas
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"TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO" / EJERCICIOS RESUELTOS

EJEMPLO 1: (Un primer ejemplo)

x2 + 3x + 2 = (x + 1).(x + 2)

x1,2 =a=1
b=3
c=2
x1,2 =

x1 =

(con la suma)

x2 =

(con la resta)

x1 = -1
x2 = -2
a.(x - x1).(x - x2)
1.(x - (-1)).(x - (-2)) = (x + 1).(x + 2)

Es un "trinomio", pero no es "cuadrado perfecto". Se puede factorizar buscando las
"raíces" con la fórmula para resolver ecuaciones cuadráticas. Y se factoriza así: a.(x x1).(x - x2). En este ejemplo "a" es igual 1, entonces no loponemos. También hay
otro método para factorizarlo, pero no se puede aplicar en cualquier ejemplo.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 1

EJEMPLO 2: (Con coeficiente principal distinto de "1")

2x2 - 3x + 1 = 2.(x - 1).(x - 1/2)

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En esteejemplo, el coeficiente principal es 2. No hay que olvidarse de ponerlo en la
factorización.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 2

EJEMPLO 3: (Con fracciones)

1/3 x2 - 1/3 x - 2 = 1/3. (x - 3).(x + 2)

Los coeficientes son fracciones. Eso puede complicar un poco el cálculo de las raíces.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 3

EJEMPLO 4: ("No tiene solución en Reales")

x2 - 6x + 10 = No se factorizaCuando aplico la "fórmula de la cuadrática", queda una raíz cuadrada de un número
negativo, que no tiene solución en el Conjunto de los Números Reales. Entonces un
ejemplo así no se factoriza.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 4

EJEMPLO 5: ("Raíz repetida")
1/3 x2 - 1/3 x + 1/12= 1/3. (x - 1/2).(x - 1/2) = 1/3. (x 1/2)2
Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", obtengo un sólo resultado. Es que enrealidad el Trinomio es "cuadrado perfecto", y podría factorizarse por el Tercer Caso,
pero aplicando primero el Primer Caso: Factor Común (en este ejemplo en particular).

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 5

AVANZADOS: (Raramente se ve en el Nivel medio)
EJEMPLO 6: (La raíz cuadrada no dá exacta)

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x2 +x - 1 = [x - (

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)].[x - (

)] = (x +

).(x +

)

Cuando aplico la "fórmula de la cuadrática", me queda una raíz cuadrada que no dá
exacta. Entonces, tengo que trabajar con "Radicales", y las raíces (x1 y x2) son
expresiones de dos términos.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO 6

EJEMPLO 7: ("Bicuadrada")

x4 - 5x2 + 4 = (x- 1).(x + 1).(x - 2).(x + 2)

Con este Caso de Factoreo se pueden factorizar también algunos polinomios de
cuarto grado, que cumplen con ciertas condiciones: un término de grado 4, un
término de grado 2 y un término independiente. También se usa la fórmula
resolvente de las ecuaciones cuadráticas, pero se encuentran 4 raíces.

EXPLICACIÓN DEL EJEMPLO7

CONCEPTOS - DUDAS - COMENTARIOSSOBRE EL SÉPTIMO CASO: "TRINOMIO DE SEGUNDO GRADO"
¿Por qué se le llama "Trinomio de Segundo Grado"?
Porque sirve para factorizar polinomios de 3 términos ("trinomios"), cuyo grado sea 2
(¿qué es el grado de un polinomio?). Por ejemplo: x2 + 3x + 2; 6x2 - x - 1, etc.

¿Debe cumplir alguna condición especial el trinomio para que le pueda aplicar el
Caso?
Un trinomio de segundo grado completo,con un sólo tipo de letra, siempre tiene: un término
de segundo grado (por ej: "2x2"), un término de grado 1 (por ej: "-3x") y un término
independiente (por ej: "1"). No hay ninguna condición especial que deban cumplir sus
coeficientes (¿coeficiente?). Sin embargo, no siempre se llega a obtener una factorización. A
veces no hay solución posible (en el conjunto de los números reales), entonces...