Bases Recíprocas

´
´
INGENIER´ GEOLOGICA: MECANICA DE MEDIOS CONTINUOS
IA

Ignacio Romero — 20 de Septiembre de 2004

Notaci´n indicial
o
En Mec´nica de Medios Continuos los objetos matem´ticos m´s empleados son los
a
a
a
escalares, vectores y tensores en R3 . Para trabajar con vectores se define una base de vectores
ortonormales B 1 = {e1 , e2 , e3 } de forma que todo vector v ∈ R3 se puede expresarcomo la
siguiente combinaci´n lineal
o
v = v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 .
(1)
Utilizando sumatorios se puede escribir la ecuaci´n previa de una forma m´s compacta:
o
a
3

v=

vp ep .

(2)

p=1

Sin embargo es tedioso tener que escribir constantemente el s´
ımbolo de sumatorio e indicar
sus l´
ımites, pues siempre son los mismos. Por ello se adopta la siguiente convenci´n: en vez
ode (1) o (2) se escribe
v = vp ep .
(3)
En esta expresi´n, y en toda aquella en la que dos objetos que se multiplican tengan un mismo
o
´
ındice repetido, se entender´ que vp ep significa v1 e1 + v2 e2 + v3 e3 . En vez del sub´
a
ındice p se
podr´ haber empleado cualquier otro, y as´
ıa
ı
vp ep = vq eq = vi ei ,

(4)

por lo que el ´
ındice repetido se denomina mudo. Se dice quela expresi´n (3) emplea notaci´n
o
o
indicial o tambi´n el convenio de Einstein.
e
Dos vectores a y b son iguales si ap ep = bp ep . Esta igualdad se puede reescribir como
(ap − bp )ep = 0. Como los vectores de la base son linealmente independientes la ultima
´
expresi´n requiere que cada componente se anule, es decir, ap − bp = 0, o de otra manera
o
ap = bp .

(5)

De este simpleejemplo se deduce que cuando en una igualdad aparezca un mismo ´
ındice
en varios lugares, pero no multiplic´ndose, quiere decir que la igualdad es v´lida cuando el
a
a
´
ındice toma el valor 1,2 ´ 3. Un ´
o
ındice de este tipo se denomina libre y puede intercambiarse
por otra letra cualquiera, siempre que no se emplee en otra parte de la igualdad. Por ejemplo,
la identidad (5) quiereexpressar
a1 = b1
(6)
a2 = b2
a3 = b3
N´tese que en la identidad anterior (5) no hay ning´n ´
o
u ındice mudo, pues aunque
p aparezca en ambos lados de la igualdad las componentes correspondientes no est´n
a
multiplicando.

1

Cuando se trabaja con tensores de segundo orden tambi´n se emplea una base tensorial
e
de nueve tensores:
B 2 = {e1 ⊗ e1 , e1 ⊗ e2 , e1 ⊗ e3 , e2 ⊗ e1 , e2 ⊗ e2, e2 ⊗ e3 , e3 ⊗ e1 , e3 ⊗ e2 , e3 ⊗ e3 } ,

(7)

y todo tensor T se puede escribir como
T = T11 e1 ⊗ e1 + T12 e1 ⊗ e2 + T13 e1 ⊗ e3 + T21 e2 ⊗ e1 + . . .

(8)

En este caso se observa a´n m´s claramente que resulta muy tedioso escribir y trabajar con
u
a
las nueve componentes de un tensor. Se podr´ escribir la expresi´n previa como
ıa
o
3

3

Tpq ep ⊗ eq ,

T =

(9)

p=1q=1

pero igual que con los vectores, se adopta la convenci´n de que esta ultima expresi´n se puede
o
´
o
escribir simplemente como
T = Tpq ep ⊗ eq .
(10)
Como en el caso de los vectores, los ´
ındices repetidos cuyos objetos correspondientes se
multiplican expresan un sumatorio, con dicho ´
ındice tomando valores 1,2 y 3.
Tambi´n como en el caso de los vectores, aquellos ´
eındices libres que aparecen repetidos en
varios lugares de una igualdad, pero cuyas componentes correspondientes no se multiplican
indican que la igualdad es v´lida cuando los ´
a
ındices toman valores 1,2 y 3. As´ por ejemplo
ı
Tij + Rij = 7 quiere decir que la suma de cualquier componente del tensor T de segundo
order m´s la misma componente del tensor de segundo orden R es igual a 7.
a
Lasconsideraciones aqu´ presentadas son v´lidas tambi´n para tensores de mayor orden.
ı
a
e
Por ejemplo:
Aijk vj = Ai1k v1 + Ai2k v2 + Ai3k v3 ,
(11)
Spqr Tir = Spq1 Ti1 + Spq2 Ti2 + Spq3 Ti3 .

2

Empleo de notaci´n indicial en igualdades
o
Cuando se expresan igualdades de cantidades vectoriales o tensoriales se puede emplear
notaci´n compacta, indicial o matricial. De esta manera,...