Bayes

Regla de Bayes
Pedro J. Rodríguez Esquerdo
Instituto de Estadística y Sistemas Computadorizados de Información
Facultad de Administración de Empresas
y
Departamento de Matemáticas
Facultad de Ciencias Naturales
Recinto de Río Piedras
Universidad de Puerto Rico

1. Ejemplos de Probabilidad condicional
El Teorema o Regla de Bayes ofrece un método para invertir el evento que condiciona aotro evento al
calcular una probabilidad condicional: si A y B son eventos y se conocen P(A | B), P( B ), P(A | Bc ), entonces la
regla permite calcular P( B | A ). La necesidad de calcular este último valor a partir de la información disponible
es imprescindible para entender las consecuencias de algunas de nuestras decisiones.
Ejemplo 1
Una fábrica de botellas cuenta con dos máquinas paraproducir 10,000 botellas al día. La máquina A produce
6,500 botellas diarias de las cuales 2% son defectuosas. La máquina B produce 3,500 botellas cada día de las
cuales 1% son defectuosas. El inspector de calidad de la compañía selecciona una botella al azar y encuentra
que está defectuosa. ¿Cuál es la probabilidad de que la botella haya sido producida por la máquina A?
Para visualizar mejorlos datos, se representan en un diagrama de árbol. Denote por A el evento de que
la botella seleccionada haya sido producida por la máquina A y por B el evento de que haya sido producida por
la máquina B. El evento de que la botella seleccionada sea defectuosa se denota por D, mientras que su
complemento Dc representa una botella que no es defectuosa.
Comienzo

Máquina
0.02

Dc

ADc0.01

D

BD

0.99

Dc

BDc

A

fabricar botella

0.35

Resultados
AD

0.98

0.65

Botella
D

B

La probabilidad de que una botella cualquiera haya sido producida por la máquina A es 0.65, pues de las
10,000 producidas, 6,500 son producidas por A. Interesa calcular P( A | D ), la cual no se puede obtener de
forma directa de los datos o del árbol que losrepresenta. Para esto se recurre directamente a la definición de
probabilidad condicional: P( A | D) = P( A  D ) / P( D ).

Teorema de Bayes

p. 2

Las cantidades P( A  D ) y P( A ) se pueden obtener del árbol. Para que una botella seleccionada al azar
sea una botella defectuosa producida por la máquina A, se selecciona primero la máquina A y de las botellas
producidas allí se selecciona unadefectuosa. La expresión P( A  D ) = P( A ) P( D | A ) equivale a hacer una
travesía en el árbol desde su raíz o comienzo, hasta la hoja final donde se obtiene el resultado A  D. Así
P( A  D ) = 0.65  0.02.
Para encontrar P( D ) es necesario darse cuenta de que
una botella defectuosa puede ser producida por la máquina A o
BDc
por la B. Al examinar las hojas del árbol, se encuentran doslugares donde se obtiene una botella defectuosa: A  D o B  D.
ADc
Defectuosas
Esto equivale a hacer una travesía por uno de dos caminos en el
AD BD
árbol. Estos caminos son mutuamente excluyentes, pues si se
camina por uno no puede caminarse por el otro. Según se
muestra en la Figura 1, el evento D = ( A  D )  ( B  D ) y su
Máquina B
Máquina A
probabilidad es entonces calculada
P( D )= P( A  D) + P( B  D ).
Figura 1 Partición de la producción de botellas.
El primero de estos términos P( A  D ) ya fue
calculado. El segundo, P( B  D ), se obtiene de forma similar, P( B  D ) = P( B )P( D | B ). Juntando estos
resultados, P( D ) = P( A ) P( D | A ) + P( B ) P( D | B ). Finalmente se calcula la probabilidad deseada:

6,500
 .02
P(A) P( D | A)
.013
10,000
P( A | D) 


 .788
P( D | A)P(A)  P(D | B)P(B)  6,500
  3,500
 .013  .0035
 .02   
 .01

 10,000
  10,000

Por lo tanto, una vez se sabe que una botella seleccionada al azar está defectuosa, la probabilidad de
que haya sido producida por la máquina A es .788. Dicho de otra manera, de todas las botellas defectuosas
produdidas, aproximadamente el 79% son producidas por...