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UNIVERSIDAD DE CONCEPCIÓN
ESCUELA DE GRADUADOS CONCEPCIÓN-CHILE

ALGEBRA Y TRIGONOMETRIA
Myriam Ortega Saavedra, Miryam Vicente Parada y otros. FACULTAD DE CIENCIAS FÍSICAS Y MATEMÁTICAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA 2003

Índice general
1. LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTOS 1.1. ELEMENTOS DE LOGICA . . . . . . . 1.2. CONJUNTOS . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. CUANTIFICADORES LOGICOS . . . .1.4. EJERCICIOS PROPUESTOS . . . . . . 1 . 1 . 8 . 15 . 18

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Capítulo 1 LOGICA Y TEORIA DE CONJUNTOS
1.1. ELEMENTOS DE LOGICA

Toda estructura matemática supone la necesidad de razonar en forma válida y el uso de un lenguaje apropiado. Por esto es necesario una gransimpli…cación y el uso de un simbolismo adecuado e inequívoco que nos permita razonar válidamente mediante reglas …jadas con claridad. La LOGICA SIMBOLICA y la TEORIA DE CONJUNTOS nos permiten adquirir este simbolismo y el esquema de un razonamiento deductivo. De…nición 1.1.1 Una PROPOSICION es una expresión con sentido en un lenguaje, que a…rma o niega algo y proporciona una información. Usaremos eltérmino proposición para designar una expresión de la cual tenga sentido inequívoco decir si es verdadera o falsa en un cierto contexto. Simbolizaremos las proposiciones con letras minúsculas p; q; r; s; etc: Los VALORES DE VERDAD, verdadero (V ) y falso (F ) ; los consideraremos conceptos primitivos. De…nición 1.1.2 El CONECTIVO LOGICO es un símbolo que permite obtener nuevas proposiciones a partirde proposiciones dadas. Los conectivos son: no; y; o; si...entonces...; si y sólo si.

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CAPÍTULO 1: Lógica y Teoría de Conjuntos Las proposiciones pueden ser de dos tipos: 1) ATOMICAS O SIMPLES: las que no incluyen conectivos. Por ejemplo: p : “Pedrito es un niño muy estudioso” q : “El padre de Pedrito es un hombre feliz” 2) MOLECULARES O COMPUESTAS: Las que se obtienen combinandoproposiciones átomicas mediante conectivos. Por ejemplo: r : “Si Pedrito es un niño muy estudioso, entonces el padre de Pedrito es un hombre feliz” De…nición 1.1.3 Se llama NEGACION de una proposición p; a la proposición “no p” . Notación 1.1.1 v p; p; p;

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Este es el único conectivo que actúa sobre una sola proposición. La proposición v p es verdadera si la proposición p es falsa y, es falsa si pes verdadera. Esto se esquematiza con la siguiente: TABLA DE VERDAD p vp V F F V Ejemplo 1.1.1 : p : “todos los números impares son primos” v p : “no todos los números impares son primos” ó “algunos números impares son no primos” ó “al menos un número impar no es primo” Notemos que las a…rmaciones: “Todos los números impares no son primos” “Ningún número impar es primo” No corresponden a laproposición v p:

CAPÍTULO 1: Lógica y Teoría de Conjuntos De…nición 1.1.4 Sean p y q dos proposiciones, se llama CONJUNCION de las proposiciones p y q a la proposición “p y q” . Notación 1.1.2 p^q

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La proposición p ^ q es verdadera sólo si p y q son ambas verdaderas y, es falsa si al menos una de ellas es falsa. Esto se esquematiza por medio de la siguiente: TABLA DE VERDAD: p V V F F Ejemplo1.1.2 : p : “el triángulo equilátero tiene los tres lados iguales” q : “el triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales” p ^ q : “el triángulo equilátero tiene los tres lados iguales y el triángulo equilátero tiene los tres ángulos iguales” En forma más sencilla la proposición p ^ q se enuncia: “el triángulo equilatero tiene sus tres lados y sus tres ángulos iguales” De…nición 1.1.5 Sean py q dos proposiciones, se llama DISYUNCION de las proposiciones p y q a la proposición “p ó q” . Notación 1.1.3 p_q q V F V F p^q V F F F

La proposición p _ q es verdadera si al menos una de las proposiciones p ó q es verdadera y, es falsa si ambas son falsas. Esto se esquematiza con la siguiente: TABLA DE VERDAD: p V V F F q V F V F p_q V V V F

CAPÍTULO 1: Lógica y Teoría de Conjuntos...