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ÚLTIMO TEOREMA DE FERMAT
En teoría de números, el último teorema de Fermat, o teorema de Fermat-Wiles, es uno de los teoremas más famosos en la historia de la matemática. Utilizando la notación moderna, se puede enunciar de la siguiente manera:
Si n es un número entero mayor que 2, entonces no existen números enteros x, y y z, tales que se cumpla la igualdad:

Nótese que n es un entero mayorque 2, y x, y, z, no nulos. Es decir, ni x=0, ni y=0, ni z=0.
El teorema fue conjeturado por Pierre de Fermat en 1637, pero no fue demostrado hasta 1995 por Andrew Wiles ayudado por el matemático Richard Taylor. La búsqueda de una demostración estimuló el desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX.
La edición de1670 de la Arithmetica de Diofanto incluye el comentario de Fermat, conocido como "Último teorema" (Observatio Domini Petri de Fermat: Observación del señor Pedro de Fermat).
Pierre de Fermat escribió en el margen de su ejemplar de la Arithmetica de Diofanto, traducido por Claude Gaspar Bachet, en el problema que trata sobre escribir un número cuadrado como suma de dos cuadrados (es decir,encontrar ternas pitagóricas):
Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.
HISTORIA DE LA DEMOSTRACIÓN DEL TEOREMA
El primer matemático que consiguió avanzarsobre este teorema fue el propio Fermat, que demostró el caso n=4 usando la técnica del descenso infinito, una variante del principio de inducción.
Leonhard Euler
Leonhard Euler demostró el caso. El 4 de agosto de 1735 Euler escribió a Goldbach reclamando tener una demostración para el caso n = 3. En Álgebra (1770) se encontró una falacia en la demostración de Euler. Corregirla directamente erademasiado difícil, pero otros aportes anteriores de Euler permitían encontrar una solución correcta por medios más simples. Por esto se consideró que Euler había demostrado ese caso. Del análisis de la demostración fallida de Euler surgió la evidencia de que ciertos conjuntos de números complejos no se comportaban de igual manera que los enteros.


Sophie Germain
El siguiente mayor paso fuehecho por la matemática Sophie Germain. Un caso especial dice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y ó z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos:
Caso 1: Ninguno de los x, y, z es divisible por p.
Caso 2: Uno y sólo uno de x, y, z es divisible por p.
Sophie Germain probó elcaso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-Marie Legendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que fue evidente que era en el caso 2 en el que había que concentrarse. Este caso también se dividía entre varios casos posibles.
Ernst Kummer
No fue hasta 1825 que Peter Gustav Lejeune Dirichlet yLegendre generalizaron para n=5 la demostración de Euler. Lamé demostró el caso n=7 en 1839.
Entre 1844 y 1846 Ernst Kummer demostró que la factorización no única podía ser salvada mediante la introducción de números complejos ideales. Un año después Kummer afirma que el número 37 no es un primo regular (Ver: Números de Bernoulli). Luego se encuentra que tampoco 59 y 67 lo son. Kummer, Mirimanoff,Wieferich, Furtwänger, Vandiver y otros extienden la investigación a números más grandes. En 1915 Jensen demuestra que existen infinitos primos irregulares. La investigación se estanca por esta vía de la divisibilidad, a pesar de que se logran comprobaciones para n menor o igual a 4.000.000.
Andrew Wiles
En el año 1995 el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en...