Benjamin Gompertz

Benjamin Gompertz
Benjamín Gompertz (Gran Bretaña, 5 de Marzo de 1779 – 14 de Julio de 1865), fue un matemático autoeducado ya que se le negó el ingreso a la facultad porque era judío. Sin embargo, fue nombrado Miembro de la Royal Society en 1819. Gompertz es conocido hoy día por la Ley de Mortalidad de Gompertz: un modelo demográfico publicado en 1825; el modelo puede ser escrito como:
dN/dt= r N(t) log[K/N(t)], donde N(t) representa el número de individuos en el momento t, dN/dt es la derivada con respecto al tiempo, r es la tasa de crecimiento intrínseco y K el número de individuos en equilibrio.
Este modelo es una mejora del modelo demográfico de Malthus; y fue usado por compañías de seguros para calcular los costos de los seguros de vida. La ecuación conocida como curva deGompertz es usada actualmente en muchas áreas para modelar series de tiempo donde el crecimiento es lento al pricipio y al final del período.

Gompertz-Makeham ley de mortalidad plantea que la tasa de muerte es una suma de componentes que no dependen de la edad (término de Makeham) y términos que sí dependen de la edad (función de Gompertz), que se incrementa exponencialmente con la edad. En unambiente controlado donde las causas externas de muerte son raras (condiciones de laboratorio, países con baja mortalidad) el término de mortalidad independiente de la edad es usualmente despreciable, y en este caso la fórmula se simplifica a la ley de mortalidad de Gompertz con incrementos exponenciales en las tasas de muerte por edad. La ley de mortalidad de Gompertz-Makeham describe la dinámica deedad en mortalidad humana de manera más precisa en una ventana de edad de entre 30 y 80 años; para edades más avanzadas la tasa de muerte no se incrementa tan rápidamente como la predicha por esta ley (este fenómeno es conocido como desaceleración de mortalidad en el final de la vida). La declinación histórica en la mortalidad humana antes de 1950 es en mayor medida explicada por un decrecimientoen el componente edad-dependiente de mortalidad (parámetro Makeham), mientras que la función de Gompertz se mantuvo sorprendentemente estable en este período. Luego de esa fecha, una nueva tendencia de mortalidad comenzó a liderar a una declinación inesperada de las tasas de mortalidad en edades avanzadas y una “des-rectangularización” de la curva de supervivencia. En términos de la teoría de lacredibilidad, la ley de mortalidad de Gompertz-Makeham representa una ley de falla, donde la tasa de aleatoriedad es una mezcla de: una distribución de falla de no-edad y una distribución de falla de edad con incremento exponencial en las tasas de fallas. La curva/función de Gompertz, es una función sigmoidea; es una tipo de modelo matemático para series de tiempo, donde el crecimiento se da demanera más lenta al principio y al final del período de tiempo. Su fórmula es: y(t) = a exp[b exp(ct)], donde “a” es la asíntota superior, “c” es la tasa de crecimiento y “b” es un número negativo.

La función puede ser derivada por la ley de Gompertz, que establece que la tasa de mortalidad decae exponencialmente si se fija el tamaño de la población. Matemáticamente:
(k^r) ~ 1/y(t), donde r =y’(t)/y(t) y k es una constante arbitraria.
Ejemplos de uso:
Las poblaciones en un ambiente confinado, ya que a medida que la tasa de nacimientos se incrementa al principio y luego se desacelera cuando los recursos escasean.
Modelización de crecimiento de tumores.
Crecimiento de tumores
En la década de los sesenta, fue usada por primera vez con éxito la curva de Gompertz para ajustar la data decrecimiento de tumores. De hecho, los tumores son poblaciones celulares que crecen en un ambiente confinado donde la accesibilidad a nutrientes es limitada. Denotando al tamaño del tumor como X(t) es útil escribir la función de Gompertz de la siguiente manera:
X(t) = K exp[log(X(0)/K) exp(-αt)],

Donde:
• X(0) representa el tamaño del tumor en el instante 0
• K es la capacidad de carga (el...