Bifurcacion

UNIVERSIDAD NACIONAL DE INGENIERÍA


FACULTAD DE INGENIERIA INDUSTRIAL Y DE SISTEMAS
ESTABILIDAD Y BIFURCACIÓN
MATEMATICA APLICADA

ALUMNO: ROSALES CHU JANDAMA RAUL AUGUSTO

PROFESOR: PAUL TOCTO INGA

2012-II

INTRODUCCION

En un sentido amplio el objetivo de los Sistemas Dinámicos (S.D.) es estudiar “todo lo que se mueve”, es decir, todos los fenómenos en los que hay algunamagnitud que evoluciona con el tiempo.
Contienen sistemas cuya evolución viene regida por ecuaciones diferenciales ordinarias (EDO), ecuaciones en derivadas parciales (EDP), ecuaciones con retardo o memoria (EDR), sistemas discretos, etc. Asimismo puede considerarse el efecto de términos estocásticos. Sin embargo la teoría de los S.D. contiene importantes diferencias de enfoque respecto a lo queclásicamente se engloba en la teoría de ecuaciones diferenciales.
Poincaré fue el iniciador de los S.D. Dado que es “imposible” obtener fórmulas explícitas para las soluciones de esas ecuaciones, propuso dar la vuelta al problema y considerar no sólo algunas soluciones sino la totalidad de las mismas. Pero intentando describir propiedades cualitativas en lugar de cuantitativas. Inicialmenteentroncaba con la Mecánica Celeste y la Mecánica Analítica, pero hoy en día su metodología influye en muchos más dominios, como veremos. Un objeto fundamental en todo S.D. es el “espacio de estados” o espacio de fases del sistema, E. En un instante dado la posición en este espacio caracteriza el estado del sistema. En ejemplos elementales ese espacio puede ser Rn una variedad finito-dimensional. Pero enel caso de EDP, EDR con componentes estocásticas y otros, E es un espacio funcional, o un espacio de medidas, etc.
En la actualidad, y dada la importancia de las aplicaciones, se intenta de nuevo retomar los aspectos cuantitativos en la teoría de los S.D. Los nuevos puntos de vista dicen que no se pueden disociar unos de otros y la combinación de ambos es muy fructífera.

SISTEMAS DINAMICOSUn sistema dinámico es un sistema físico cuyo estado evoluciona con el tiempo. El comportamiento en dicho estado se puede caracterizar determinando los límites del sistema, los elementos y sus relaciones; de esta forma se puede elaborar modelos que buscan representar la estructura del mismo sistema.
Al definir los límites del sistema se hace, en primer lugar, una selección de aquellos componentesque contribuyan a generar los modos de comportamiento, y luego se determina el espacio donde se llevará a cabo el estudio, omitiendo toda clase de aspectos irrelevantes.
En cuanto a la elaboración de los modelos, los elementos y sus relaciones, se debe tener en cuenta:
1. Un sistema está formado por un conjunto de elementos en interacción.
2. El comportamiento del sistema se puede mostrara través de diagramas causales.
3. Hay varios tipos de variables: variables exógenas (son aquellas que afectan al sistema sin que éste las provoque) y las variables endógenas (afectan al sistema pero éste sí las provoca).
Un ejemplo de un sistema dinámico se puede ver en una especie de peces que se reproduce de tal forma que este año la cantidad de peces es , el año próximo será . De estamanera podemos poner nombres a las cantidades de peces que habrá cada año, así: año inicial , año primero ,........... ......, año k .
Como se puede observar :, se cumple para cualquier año k; lo cual significa que la cantidad de peces se puede determinar si se sabe la cantidad del año anterior. Por consiguiente esta ecuación representa un sistema dinámico.

TIPOS DE SISTEMAS DINAMICOS
Unsistema dinámico se dice discreto si el tiempo se mide en pequeños lapsos; éstos son modelados como relaciones recursivas, tal como la ecuación logística:

donde t denota los pasos discretos del tiempo y x es la variable que cambia con éste.
Si el tiempo es medido en forma continua, el sistema dinámico continuo resultante es expresado como una ecuación diferencial ordinaria; por ejemplo:

donde...