binomio




TEMA 10
BINOMIO DE NEWTON
Los productos notables tienen la finalidad de obtener el resultado de ciertas multiplicaciones sin hacer dichas multiplicaciones. Por ejemplo, cuando se desean multiplicar los binomios conjugados siguientes: (7xy2 +3a)(7xy2 −3a), para evitar realizar las operaciones correspondientes a fin de obtener el resultado
7xy2 +3a
7xy2 −3a

49x2y4 +21axy 2−21axy2 −9a 2

49x2y4 −9a 2
se conoce la regla de los binomios conjugados que establece que el resultado es el cuadrado del primer término menos el cuadrado del segundo, con lo que directamente se obtiene, sin necesidad de realizar toda la operación, que
(7xy2 +3a)(7xy2 −3a) =49x2y4 −9a 2
De manera semejante, para obtener el resultado sin efectuar operaciones de elevar un binomio (x+ y) a ciertapotencia n , en donde n debe ser un número natural, es decir un entero positivo, existe una regla llamada binomio de Newton.
Se puede deducir la regla observando las características comunes que tienen los siguientes desarrollos:
x + y = x + y
(x+ y)2 = x2 + 2xy+ y2
(x+ y)3 = x3 +3x2y+3xy2 + y3
(x+ y)4 = x4 + 4x3y+ 6x2y2 + 4xy3 + y4
(x+ y)5 = x5 +5x4y+10x3y2 +10x2y3 +5xy4 + y5
(x+y)6 = x6 +6x5y+15x4y2 +20x3y3 +15x2y4 +6xy5 + y5
a) El primer término es xn .
b) El segundo término es nxn−1y . De aquí en adelante no se puede continuar estableciendo una regla para cada término que sigue, pues si el binomio está elevado al cubo tiene cuatro términos mientras que si está a la séptima tendrá ocho, así que si se establece la regla para el quinto término el binomio al cubo nollega hasta allí. Siempre habría términos faltantes o sobrantes dependiendo de la potencia del binomio. Deben ponerse características generales, es decir, que todos los términos las tengan.
c) Al pasar de un término al siguiente, el exponente de x se reduce en uno mientras que el exponente de y aumenta en uno.
d) Cada desarrollo tiene n+1 términos.
e) La suma de los exponentes en cada términode x y de y es n.
f) El último término es yn .
g) El coeficiente de cada término se forma, a partir del término anterior, multiplicando el coeficiente por el exponente de x y dividiéndolo entre el número de términos que se llevan construidos. O bien, nCk−1, en donde k es el ordinal que ocupa el término a calcularse.
h) Los coeficientes son simétricos.
En el binomio anterior (x+ y)n , laliteral x representa realmente al "primer término del binomio" mientras que la literal y significa "el segundo término del binomio".
Para desarrollar un binomio elevado a la potencia n deben hacerse cumplir las condiciones anteriores. El proceso completo consta fundamentalmente de dos pasos: uno, indicar el desarrollo y dos, el desarrollo ya efectuado. Es importante hacer notar que elinciso g) debe aplicarse cuando está indicado apenas el desarrollo, no cuando ya se desarrolló cada término. Para mayor claridad, ver el ejemplo 1. Además, el resultado final debe escribirse de manera que cada término esté ordenado, es decir, que las literales aparezcan en orden alfabético.
5
a) El primer término es xn = (2a)5 .
b) El segundo término es nxn−1y =5(2a)4 (b)
c) El coeficiente deltercer término se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior (5) por el exponente de (2a) que es 4 y eso entre el número de términos que van, es decir entre 2:
=10
así que el tercer término es 10(2a)3 (b)2 , o bien 5C3−1 =5 C2 =10
y así sucesivamente. De manera que el desarrollo del binomio es

= (2a)5 +5(2a)4 (b) +10(2a)3 (b)2 +10(2a)2 (b)3 +5(2a)(b)4 + (b)5 ( indicado )
=32a5+5(16a4 )(b) +10(8a3)(b2 ) +10(4a2 )(b3) +5(2a)(b4 ) +b5 =32a5 +80a4b+80a3b2 +40a2b3 +10ab4 +b5 ( desarrollado )
NOTA: El desarrollo del binomio es 32a5 + 80a4b + 80a3b2 + 40a2b3 + 10ab4 + b5 . Es incorrecto dejarlo indicado como (2a)5 + 5(2a)4(b) + 10(2a)3(b)2 + 10(2a)2(b)3 + 5(2a)(b)4 + b5 porque así solamente está indicado el desarrollo, pero no está desarrollado. Es el equivalente a...